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《數(shù)學(xué)分析 第七講 反常積分.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第七講非黎曼積分（反常積分）一、知識結(jié)構(gòu)我們知道黎曼積分要求積分區(qū)間有限，并且積分區(qū)間是閉區(qū)間（閉區(qū)域）.下面研究積分區(qū)間無限,或積分區(qū)間不是閉區(qū)間的積分,我們稱這樣的積分為反常積分,所謂反常是指相對于黎曼積分的反常.對正常積分,我們主要研究它的計算問題,而對反常積分,主要研究它的收斂問題.1、一元函數(shù)的反常積分(1)一元函數(shù)反常積分的概念和定義我們知道黎曼積分要求積分區(qū)間是有限閉區(qū)間或有限閉區(qū)域，如果將積分區(qū)間換成無限區(qū)間或非閉區(qū)間（是被積函數(shù)的瑕點）或，由此產(chǎn)生的積分我們稱為反常積分，反常積分是相對于黎曼積分所提出的，“反?！?/p>
2、指將黎曼積分中的有限閉區(qū)間換成無限區(qū)間或非閉區(qū)間（是被積函數(shù)的瑕點,即函數(shù)在點處無界）.定義1函數(shù)在無限區(qū)間連續(xù)，則定義，如果極限存在，我們稱反常積分收斂.定義2函數(shù)在非閉區(qū)間連續(xù)，而在點右鄰域內(nèi)無界（是被積函數(shù)的瑕點）即函數(shù)在點無界，則定義,如果極限存在，我們稱反常積分收斂.函數(shù)在點右鄰域內(nèi)無界的意思是：.注意:函數(shù)在點沒有定義,但函數(shù)在點右極限可以存在,這時不是被積函數(shù)的瑕點.例如,函數(shù)在點處沒有定義,但,所以不是積分的瑕點.不是反常積分.將積分看作推廣的黎曼積分.因為,如果被積函數(shù)在閉區(qū)間上僅有有限個第一類間斷點,則積分為推
3、廣的黎曼積分,它也是收斂的.定義3函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，都是函數(shù)的瑕點，則定義,如果極限和均存在，我們稱反常積分收斂.定義4函數(shù)在無限區(qū)間連續(xù)，是函數(shù)的瑕點，則定義,如果極限和均存在，我們稱反常積分收斂.②積分區(qū)域無限且被積函數(shù)有瑕點（了解）.2、一元函數(shù)反常積分的性質(zhì)與收斂判別請同學(xué)們切記如下例子中的結(jié)論.例討論積分和的斂散性.解顯然和均發(fā)散.在區(qū)間上,當(dāng)時,函數(shù),即前者的圖像在后者的圖像下方,這時收斂(請同學(xué)給出證明).當(dāng)時,函數(shù),即前者的圖像在后者的圖像上方,這時發(fā)散(請同學(xué)給出證明).在區(qū)間上,當(dāng)時,函數(shù),即前者的圖像在后者
4、的圖像上方,這時發(fā)散(請同學(xué)給出證明).當(dāng)時,函數(shù),即前者的圖像在后者的圖像下方,這時收斂(請同學(xué)給出證明).結(jié)論:和(1)無窮積分的性質(zhì)與收斂性判別①無窮積分的性質(zhì)(a)若與收斂,則也收斂,且.(b)若在任何有限閉區(qū)間上可積,,則與同斂態(tài)(同時收斂或同時發(fā)散),并且.(c)若在任何有限閉區(qū)間上可積,且有收斂，則收斂，且.當(dāng)收斂時,稱絕對收斂.我們稱收斂而不絕對收斂者為條件收斂.②無窮積分的收斂判別(a)柯西收斂準(zhǔn)則對無窮積分的斂散性用以下準(zhǔn)則可以作出判斷.定理1(柯西收斂準(zhǔn)則)無窮積分收斂的充要條件是:對,,,當(dāng)時,有.無窮積分
5、的柯西收斂準(zhǔn)則可由函數(shù)極限的柯西收斂準(zhǔn)則得到.(b)比較法則定理2(比較法則)設(shè)定義在上的兩個函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積,且滿足,,則當(dāng)收斂時必收斂;當(dāng)發(fā)散時必發(fā)散.考慮當(dāng)收斂時必收斂是否正確?當(dāng)發(fā)散時必發(fā)散是否正確?推論1設(shè)定義在上的兩個函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積,,且,則有①當(dāng)時,與同斂態(tài);②當(dāng)時,由收斂可推知也收斂;③當(dāng)時,由發(fā)散可推知也發(fā)散.利用不等式，即可證上述結(jié)論.推論2設(shè)是定義在()的函數(shù),且在任何有限區(qū)間上可積,則有:①當(dāng),,且時,收斂;②當(dāng),,且時,發(fā)散.利用結(jié)論可證上述結(jié)論.推論3設(shè)是定義在()的函數(shù),在任
6、何有限區(qū)間上可積,且,則有:①當(dāng)時,收斂;②當(dāng)時,發(fā)散.利用不等式，即可證上述結(jié)論.(c)狄利克雷判別法定理3(狄利克雷判別法)若在上有界,在上當(dāng)時單調(diào)趨于,則收斂(了解).(d)阿貝爾(Abel)判別法定理4(阿貝爾(Abel)判別法)若收斂，在上單調(diào)有界,則收斂(了解).(2)瑕積分的性質(zhì)與收斂判別①瑕積分的性質(zhì)(a)若與都以為瑕點，為常數(shù)，則當(dāng)瑕積分與收斂時,瑕積分必定收斂,且.(b)設(shè)函數(shù)以為瑕點，為任一常數(shù)，則瑕積分與同斂態(tài)(同時收斂或同時發(fā)散),并且，其中為定積分.(c)設(shè)函數(shù)以為瑕點，若在的任一內(nèi)閉區(qū)間上可積,則當(dāng)收
7、斂時，也必收斂，且.當(dāng)收斂時,稱絕對收斂.我們稱收斂而不絕對收斂者為條件收斂.②瑕積分的收斂判別(a)柯西收斂準(zhǔn)則對瑕積分的斂散性用以下準(zhǔn)則可以作出判斷.定理1(柯西收斂準(zhǔn)則)瑕積分（瑕點為）收斂的充要條件是:對,,,當(dāng)時,有.瑕積分的柯西收斂準(zhǔn)則可由函數(shù)極限的柯西收斂準(zhǔn)則得到.(b)比較法則定理2(比較法則)設(shè)定義在上的兩個函數(shù)和，瑕點同為，和都在任何有限區(qū)間上可積,且滿足,,則當(dāng)收斂時必收斂;當(dāng)發(fā)散時必發(fā)散.考慮當(dāng)收斂時必收斂是否正確?當(dāng)發(fā)散時必發(fā)散是否正確?推論1又若,且,則有①當(dāng)時,與同斂態(tài);②當(dāng)時,由收斂可推知也收斂;③
8、當(dāng)時,由發(fā)散可推知也發(fā)散.利用不等式，即可證上述結(jié)論.推論2設(shè)是定義在的函數(shù),瑕點為，且在任何有限區(qū)間上可積，則有:①當(dāng),且時,收斂;②當(dāng),且時,發(fā)散.利用結(jié)論可證上述結(jié)論.推論3設(shè)是定義在的函數(shù),瑕點為，且在任何有限區(qū)間上可積，且,則有:①當(dāng)時,
