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《數(shù)學(xué)分析 反常積分習(xí)題解答》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§2反常積分的收斂判別法一.無窮限積分收斂的Cauchy準(zhǔn)則:定理8.2.1(Cauchy收斂原則)反常積分收斂絕對收斂收斂而不絕對收斂的無窮積分為條件收斂.絕對收斂→收斂，反之不成立反例二非負(fù)函數(shù)無窮積分判斂法:比較判別法比較判斂法的極限形式:推論(比較判斂法的極限形式)設(shè)在區(qū)間上函數(shù)則ⅰ〉同斂散:ⅱ〉ⅲ>Cauchy判斂法:在比較判斂法中,以為比較對象,即取則得到以下的Cauchy判斂法.以下取a>0.定理8.2.3(Cauchy判斂法)設(shè)在上恒有為正常數(shù).(1)若(2)若例討論的斂散性.推論(Cauchy判斂法的極限形式)設(shè)是在上恒有且則(2)Cauchy判斂法的極限形
2、式:例討論積分的斂散性.比較判別法是對所給的被積函數(shù)做適當(dāng)?shù)姆糯?如果預(yù)判為收斂)或縮小(如果預(yù)判為發(fā)散)將不易判別的函數(shù)轉(zhuǎn)化成易于判定斂散性的函數(shù)甚至是已知斂散性的函數(shù)所謂適當(dāng)，即是放大后的無窮積分應(yīng)為收斂的，而縮小后的無窮積分應(yīng)為發(fā)散的對于簡單的函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小是可能的，但若被積函數(shù)比較復(fù)雜,則要適當(dāng)放縮就不易了，可用極限形式的判別法三.一般函數(shù)反常積分的收斂判斂法:定理8.2.4(積分第二中值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,g(x)在[a,b]上單調(diào).則使證只就函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),g(x)在[a,b]上可導(dǎo)的特殊情況施證.若g(x)在
3、[a,b]上單調(diào)增加,且則使若g(x)在[a,b]單調(diào)減少,且則使積分第二中值定理的特例:Abel判別法:設(shè)積分收斂,g(x)在[a,b]上單調(diào)有界,則積分收斂.Dirichlet判別法:設(shè)在區(qū)間上有界,g(x)在[a,b]上單調(diào)有界且,則積分收斂.Abel判別法和Dirichlet判斂法統(tǒng)稱為A—D判別法。定理8.2.5例討論積分的斂散性.例討論積分的斂散性.四.無界函數(shù)反常積分收斂判斂法:無窮區(qū)間反常積分的結(jié)論都可以平行地用于無界函數(shù)的反常積分.以只有一個(gè)奇點(diǎn)為例,列出相應(yīng)的結(jié)果如下:定理8.2.1’(Cauchy收斂原則)反常積分收斂定理8.2.3’(Cauchy判斂法
4、)設(shè)在[a,b)上有若當(dāng)x屬于b的某個(gè)左鄰域時(shí),存在正常數(shù)K,使(1)若(2)若推論(Cauchy判斂法的極限形式)設(shè)在上恒有且則(2)定理8.2.5’(1)Abel判別法:設(shè)積分收斂,g(x)在[a,b]上單調(diào)有界,則積分收斂.Dirichlet判別法:設(shè)在區(qū)間上有界,g(x)在[a,b)上單調(diào)有界且,則積分收斂.例討論積分的斂散性.例證明積分當(dāng)時(shí)收斂.例：討論反常積分的斂散性：
