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1、高等數(shù)學（本科少學時類型）www.dsmf.net高等數(shù)學（本科少學時類型）第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)○函數(shù)基礎（高中函數(shù)部分相關知識）（★★★）○鄰域（去心鄰域）（★）第二節(jié)數(shù)列的極限○數(shù)列極限的證明（★）【題型示例】已知數(shù)列，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，∴第三節(jié)函數(shù)的極限○時函數(shù)極限的證明（★）【題型示例】已知函數(shù)，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，∴○時函數(shù)極限的證明（★）【題型示例】已知函數(shù)，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，∴第四節(jié)無窮小與無
2、窮大○無窮小與無窮大的本質（★）函數(shù)無窮小函數(shù)無窮大○無窮小與無窮大的相關定理與推論（★★）（定理三）假設為有界函數(shù)，為無窮小，則（定理四）在自變量的某個變化過程中，若為無窮大，則為無窮??；反之，若為無窮小，且，則為無窮大【題型示例】計算：（或）1．∵≤∴函數(shù)在的任一去心鄰域內是有界的；（∵≤，∴函數(shù)在上有界；）2．即函數(shù)是時的無窮小；（即函數(shù)是時的無窮小；）3．由定理可知（）第五節(jié)極限運算法則○極限的四則運算法則（★★）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關于多項式、商式的極限運算設：則有（特別地，當（不定型）時，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值
3、，也可以用羅比達法則求解）【題型示例】求值高等數(shù)學期末復習資料第9頁（共9頁）高等數(shù)學（本科少學時類型）www.dsmf.net【求解示例】解：因為，從而可得，所以原式其中為函數(shù)的可去間斷點倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節(jié)）：解：○連續(xù)函數(shù)穿越定理（復合函數(shù)的極限求解）（★★）（定理五）若函數(shù)是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，【題型示例】求值：【求解示例】第一節(jié)極限存在準則及兩個重要極限○夾迫準則（P53）（★★★）第一個重要極限：∵，∴（特別地，）○單調有界收斂準則（P57）（★★★）第二個重要極限：（一般地，，其中）【題型示例】求值：【求解示例】第二節(jié)無窮小量的階
4、（無窮小的比較）○等價無窮小（★★）1．2．（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：【求解示例】第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性○函數(shù)連續(xù)的定義（★）○間斷點的分類（P67）（★）（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）【題型示例】設函數(shù)，應該怎樣選擇數(shù)，使得成為在上的連續(xù)函數(shù)？【求解示例】1．∵2．由連續(xù)函數(shù)定義∴高等數(shù)學期末復習資料第9頁（共9頁）高等數(shù)學（本科少學時類型）www.dsmf.net第一節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質○零點定理（★）【題型示例】證明：方程至少有一個根介于與之間【證明示例】1．（建立輔助函數(shù)）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；2．∵（端點異號）3．∴由零點定理，在開
5、區(qū)間內至少有一點，使得，即（）4．這等式說明方程在開區(qū)間內至少有一個根第一章導數(shù)與微分第一節(jié)導數(shù)概念○高等數(shù)學中導數(shù)的定義及幾何意義（P83）（★★）【題型示例】已知函數(shù)，在處可導，求，【求解示例】1．∵，2．由函數(shù)可導定義∴【題型示例】求在處的切線與法線方程（或：過圖像上點處的切線與法線方程）【求解示例】1．，2．切線方程：法線方程：第二節(jié)函數(shù)的和（差）、積與商的求導法則○函數(shù)和（差）、積與商的求導法則（★★★）1．線性組合（定理一）：特別地，當時，有2．函數(shù)積的求導法則（定理二）：3．函數(shù)商的求導法則（定理三）：第三節(jié)反函數(shù)和復合函數(shù)的求導法則○反函數(shù)的求導法則（★
6、）【題型示例】求函數(shù)的導數(shù)【求解示例】由題可得為直接函數(shù)，其在定于域上單調、可導，且；∴○復合函數(shù)的求導法則（★★★）【題型示例】設，求【求解示例】第四節(jié)高階導數(shù)○（或）（★）【題型示例】求函數(shù)的階導數(shù)【求解示例】，，……第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導數(shù)○隱函數(shù)的求導（等式兩邊對求導）（★★★）【題型示例】試求：方程所給定的曲線：在點的切線方程與法線方程【求解示例】由兩邊對求導即化簡得∴∴切線方程：高等數(shù)學期末復習資料第9頁（共9頁）高等數(shù)學（本科少學時類型）www.dsmf.net法線方程：○參數(shù)方程型函數(shù)的求導【題型示例】設參數(shù)方程，求【求解示例】1.2.第一節(jié)變
7、化率問題舉例及相關變化率（不作要求）第二節(jié)函數(shù)的微分○基本初等函數(shù)微分公式與微分運算法則（★★★）第二章中值定理與導數(shù)的應用第一節(jié)中值定理○引理（費馬引理）（★）○羅爾定理（★★★）【題型示例】現(xiàn)假設函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，試證明：，使得成立【證明示例】1．（建立輔助函數(shù)）令顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導；2．又∵即3．∴由羅爾定理知，使得成立○拉格朗日中值定理（★）【題型示例】證明不等式：當時，【證明示例】1．（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)，則對，顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又
