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1、高等數學（本科少學時類型）www.dsmf.net高等數學（本科少學時類型）第一章函數與極限第一節(jié)函數○函數基礎（高中函數部分相關知識）（★★★）○鄰域（去心鄰域）（★）第二節(jié)數列的極限○數列極限的證明（★）【題型示例】已知數列，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，∴第三節(jié)函數的極限○時函數極限的證明（★）【題型示例】已知函數，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，∴○時函數極限的證明（★）【題型示例】已知函數，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，，當時，始終有不等式成
2、立，∴第四節(jié)無窮小與無窮大○無窮小與無窮大的本質（★）函數無窮小函數無窮大○無窮小與無窮大的相關定理與推論（★★）（定理三）假設為有界函數，為無窮小，則（定理四）在自變量的某個變化過程中，若為無窮大，則為無窮??；反之，若為無窮小，且，則為無窮大【題型示例】計算：（或）1．∵≤∴函數在的任一去心鄰域內是有界的；（∵≤，∴函數在上有界；）2．即函數是時的無窮??；（即函數是時的無窮小；）3．由定理可知（）第五節(jié)極限運算法則○極限的四則運算法則（★★）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關于多項式、商式的極限運算設：則有（特別地，當（不定型）時，通常分子分
3、母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解）【題型示例】求值高等數學期末復習資料第9頁（共9頁）高等數學（本科少學時類型）www.dsmf.net【求解示例】解：因為，從而可得，所以原式其中為函數的可去間斷點倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節(jié)）：解：○連續(xù)函數穿越定理（復合函數的極限求解）（★★）（定理五）若函數是定義域上的連續(xù)函數，那么，【題型示例】求值：【求解示例】第一節(jié)極限存在準則及兩個重要極限○夾迫準則（P53）（★★★）第一個重要極限：∵，∴（特別地，）○單調有界收斂準則（P57）（★★★）第二個重要極限：
4、（一般地，，其中）【題型示例】求值：【求解示例】第二節(jié)無窮小量的階（無窮小的比較）○等價無窮?。ā铩铮?．2．（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：【求解示例】第三節(jié)函數的連續(xù)性○函數連續(xù)的定義（★）○間斷點的分類（P67）（★）（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）【題型示例】設函數，應該怎樣選擇數，使得成為在上的連續(xù)函數？【求解示例】1．∵2．由連續(xù)函數定義∴高等數學期末復習資料第9頁（共9頁）高等數學（本科少學時類型）www.dsmf.net第一節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質○零點定理（★）【題型示例】證明：方程至少有一個根介于與之間【證
5、明示例】1．（建立輔助函數）函數在閉區(qū)間上連續(xù)；2．∵（端點異號）3．∴由零點定理，在開區(qū)間內至少有一點，使得，即（）4．這等式說明方程在開區(qū)間內至少有一個根第一章導數與微分第一節(jié)導數概念○高等數學中導數的定義及幾何意義（P83）（★★）【題型示例】已知函數，在處可導，求，【求解示例】1．∵，2．由函數可導定義∴【題型示例】求在處的切線與法線方程（或：過圖像上點處的切線與法線方程）【求解示例】1．，2．切線方程：法線方程：第二節(jié)函數的和（差）、積與商的求導法則○函數和（差）、積與商的求導法則（★★★）1．線性組合（定理一）：特別地，當時，有2．函數
6、積的求導法則（定理二）：3．函數商的求導法則（定理三）：第三節(jié)反函數和復合函數的求導法則○反函數的求導法則（★）【題型示例】求函數的導數【求解示例】由題可得為直接函數，其在定于域上單調、可導，且；∴○復合函數的求導法則（★★★）【題型示例】設，求【求解示例】第四節(jié)高階導數○（或）（★）【題型示例】求函數的階導數【求解示例】，，……第五節(jié)隱函數及參數方程型函數的導數○隱函數的求導（等式兩邊對求導）（★★★）【題型示例】試求：方程所給定的曲線：在點的切線方程與法線方程【求解示例】由兩邊對求導即化簡得∴∴切線方程：高等數學期末復習資料第9頁（共9頁）高等
7、數學（本科少學時類型）www.dsmf.net法線方程：○參數方程型函數的求導【題型示例】設參數方程，求【求解示例】1.2.第一節(jié)變化率問題舉例及相關變化率（不作要求）第二節(jié)函數的微分○基本初等函數微分公式與微分運算法則（★★★）第二章中值定理與導數的應用第一節(jié)中值定理○引理（費馬引理）（★）○羅爾定理（★★★）【題型示例】現(xiàn)假設函數在上連續(xù)，在上可導，試證明：，使得成立【證明示例】1．（建立輔助函數）令顯然函數在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導；2．又∵即3．∴由羅爾定理知，使得成立○拉格朗日中值定理（★）【題型示例】證明不等式：當時，【證明示例】1
8、．（建立輔助函數）令函數，則對，顯然函數在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又
