大一經(jīng)典高數(shù)復(fù)習(xí)資料經(jīng)典(經(jīng)典全面復(fù)習(xí))

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1、~高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時(shí)類型）第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)○函數(shù)基礎(chǔ)（高中函數(shù)部分相關(guān)知識(shí)）（★★★）○鄰域（去心鄰域）（★）第二節(jié)數(shù)列的極限○數(shù)列極限的證明（★）【題型示例】已知數(shù)列，證明【證明示例】語言1．由化簡(jiǎn)得，∴2．即對(duì)，，當(dāng)時(shí)，始終有不等式成立，∴第三節(jié)函數(shù)的極限○時(shí)函數(shù)極限的證明（★）【題型示例】已知函數(shù)，證明【證明示例】語言1．由化簡(jiǎn)得，∴2．即對(duì)，，當(dāng)時(shí)，始終有不等式成立，∴○時(shí)函數(shù)極限的證明（★）【題型示例】已知函數(shù)，證明【證明示例】語言1．由化簡(jiǎn)得，∴2．即對(duì)，，當(dāng)時(shí)，始終有不等式成立，∴第四節(jié)無窮小與無窮大○無窮小與無窮大的本質(zhì)（★）函數(shù)無

2、窮小函數(shù)無窮大○無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論（★★）（定理三）假設(shè)為有界函數(shù)，為無窮小，則（定理四）在自變量的某個(gè)變化過程中，若為無窮大，則為無窮?。环粗?，若為無窮小，且，則為無窮大【題型示例】計(jì)算：（或）1．∵≤∴函數(shù)在的任一去心鄰域內(nèi)是有界的；（∵≤，∴函數(shù)在上有界；）2．即函數(shù)是時(shí)的無窮??；（即函數(shù)是時(shí)的無窮小；）3．由定理可知（）第五節(jié)極限運(yùn)算法則○極限的四則運(yùn)算法則（★★）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關(guān)于多項(xiàng)式、商式的極限運(yùn)算設(shè)：則有（特別地，當(dāng)（不定型）時(shí)，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點(diǎn)便可求解出極限值，也可以用羅比達(dá)法則求解）【

3、題型示例】求值··~【求解示例】解：因?yàn)?，從而可得，所以原式其中為函?shù)的可去間斷點(diǎn)倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解（詳見第三章第二節(jié)）：解：○連續(xù)函數(shù)穿越定理（復(fù)合函數(shù)的極限求解）（★★）（定理五）若函數(shù)是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，【題型示例】求值：【求解示例】第一節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限○夾迫準(zhǔn)則（P53）（★★★）第一個(gè)重要極限：∵，∴（特別地，）○單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（P57）（★★★）第二個(gè)重要極限：（一般地，，其中）【題型示例】求值：【求解示例】第二節(jié)無窮小量的階（無窮小的比較）○等價(jià)無窮小（★★）1．2．（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：【求解示例】第

4、三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性○函數(shù)連續(xù)的定義（★）○間斷點(diǎn)的分類（P67）（★）（特別地，可去間斷點(diǎn)能在分式中約去相應(yīng)公因式）【題型示例】設(shè)函數(shù)，應(yīng)該怎樣選擇數(shù)，使得成為在上的連續(xù)函數(shù)？【求解示例】1．∵2．由連續(xù)函數(shù)定義∴··~第一節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)○零點(diǎn)定理（★）【題型示例】證明：方程至少有一個(gè)根介于與之間【證明示例】1．（建立輔助函數(shù)）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；2．∵（端點(diǎn)異號(hào)）3．∴由零點(diǎn)定理，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得，即（）4．這等式說明方程在開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根第一章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念○高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義（P83）（★★）【題型示例】已知函

5、數(shù)，在處可導(dǎo)，求，【求解示例】1．∵，2．由函數(shù)可導(dǎo)定義∴【題型示例】求在處的切線與法線方程（或：過圖像上點(diǎn)處的切線與法線方程）【求解示例】1．，2．切線方程：法線方程：第二節(jié)函數(shù)的和（差）、積與商的求導(dǎo)法則○函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則（★★★）1．線性組合（定理一）：特別地，當(dāng)時(shí)，有2．函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）：3．函數(shù)商的求導(dǎo)法則（定理三）：第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則○反函數(shù)的求導(dǎo)法則（★）【題型示例】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【求解示例】由題可得為直接函數(shù)，其在定于域上單調(diào)、可導(dǎo)，且；∴○復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（★★★）【題型示例】設(shè)，求【求解示例】第四節(jié)高階

6、導(dǎo)數(shù)○（或）（★）【題型示例】求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)【求解示例】，，……第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)○隱函數(shù)的求導(dǎo)（等式兩邊對(duì)求導(dǎo)）（★★★）【題型示例】試求：方程所給定的曲線：在點(diǎn)的切線方程與法線方程【求解示例】由兩邊對(duì)求導(dǎo)即化簡(jiǎn)得∴∴切線方程：··~法線方程：○參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)【題型示例】設(shè)參數(shù)方程，求【求解示例】1.2.第一節(jié)變化率問題舉例及相關(guān)變化率（不作要求）第二節(jié)函數(shù)的微分○基本初等函數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則（★★★）第二章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)中值定理○引理（費(fèi)馬引理）（★）○羅爾定理（★★★）【題型示例】現(xiàn)假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，試證

7、明：，使得成立【證明示例】1．（建立輔助函數(shù)）令顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)；2．又∵即3．∴由羅爾定理知，使得成立○拉格朗日中值定理（★）【題型示例】證明不等式：當(dāng)時(shí)，【證明示例】1．（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)，則對(duì)，顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又∵，∴，化簡(jiǎn)得，即證得：當(dāng)時(shí)，【題型示例】證明不等式：當(dāng)時(shí)，【證明示例】1．（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)，則對(duì)，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，化簡(jiǎn)得，又∵，∴，∴，即證得：當(dāng)時(shí)，第二節(jié)羅比達(dá)法則○運(yùn)用羅

8、比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟（★★）