分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)介-徐杭

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1、導(dǎo)數(shù)的初步推廣——分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)介徐杭08990217數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)綜合理科082班指導(dǎo)教師：張翼數(shù)理與信息工程學(xué)院【摘要】分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)已經(jīng)在較多地方發(fā)揮重要作用。本文首先闡述了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的研究現(xiàn)狀，然后通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的幾種不同定義,進(jìn)行分析與比較,說(shuō)明它們的一些聯(lián)系。并舉出了一些實(shí)際應(yīng)用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的例子?！娟P(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；Riemann-Liouville定義；Grunwald-Letnikov定義；Caputo定義1.引言分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，簡(jiǎn)單來(lái)講就是對(duì)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)理論的拓展。例如，我們一般對(duì)某個(gè)性質(zhì)較好的可導(dǎo)函數(shù)，可以求出它的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、……、n階導(dǎo)數(shù)

2、。那么我們是否可以對(duì)1函數(shù)求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)呢？比如導(dǎo)數(shù)。再如某個(gè)函數(shù)不滿足求導(dǎo)條件，我們是否可以使用微2積分理論對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行分析性質(zhì)的研究呢？根據(jù)多方文獻(xiàn)的參考得知，答案是肯定的，這也是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的源動(dòng)力。早在1695年，Leibniz給L’Hospital寫(xiě)了一封信，問(wèn):“整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的概念能否自然地推廣到非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)?！盠’Hospital對(duì)這個(gè)問(wèn)題感到很新奇，作為回信他反問(wèn)了一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題：1“如果求導(dǎo)的次數(shù)為，那么將會(huì)是怎樣的情況呢？”在這一年的9月30號(hào)，Leibniz給2L’Hospital回信寫(xiě)到：“這會(huì)導(dǎo)致悖論，不過(guò)總有一天會(huì)得到有用的結(jié)果。”這

3、個(gè)特殊的日子[1][2]1695年9月30號(hào)被認(rèn)為分?jǐn)?shù)階微積分的誕生日。自1695年，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的研究已經(jīng)經(jīng)歷了三百多年。但是早期分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的研究主要存在于理論數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在很長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，分?jǐn)?shù)階微積分的研究沒(méi)有得到自然科學(xué)與工程科學(xué)研究人員的關(guān)注，基本上沒(méi)有相關(guān)的應(yīng)用文章發(fā)表。分?jǐn)?shù)階微積分的研究熱潮是在二十[12]世紀(jì)七十年代，主要原因是因?yàn)檠芯咳藛T發(fā)現(xiàn)分形幾何、冪律現(xiàn)象與記憶過(guò)程等相關(guān)現(xiàn)象或過(guò)程可以與分?jǐn)?shù)階微積分建立起密切的聯(lián)系。分?jǐn)?shù)階微積分可以作為一種很好的描述與刻畫(huà)手段。2.簡(jiǎn)單介紹2.1一般的研究現(xiàn)狀與優(yōu)勢(shì)現(xiàn)在關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)研究論文每年約1000篇，且

4、正在快速增長(zhǎng)。分?jǐn)?shù)階微積分理論與應(yīng)用的交流與學(xué)術(shù)會(huì)議日益頻繁。每年都有比較大型的國(guó)際會(huì)議，小型會(huì)議越來(lái)越多（學(xué)術(shù)關(guān)注度詳見(jiàn)圖1）。1圖1分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)主要具有以下優(yōu)勢(shì)：1.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有全局相關(guān)能較好地體現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)發(fā)展的歷史依賴過(guò)程；而整數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有局部性，不適合描述有歷史依賴過(guò)程。2.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型克服了經(jīng)典整數(shù)階微分模型理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合不好的嚴(yán)重缺點(diǎn)，使用較少幾個(gè)參數(shù)就可獲得很好的效果。3.在描述復(fù)雜物理力學(xué)問(wèn)題時(shí)，與非線性模型比較，分?jǐn)?shù)階模型的物理意義更清晰，表述更簡(jiǎn)潔。2.2數(shù)值方法的研究現(xiàn)狀近年來(lái)分?jǐn)?shù)階微積分被廣泛的應(yīng)用于反常擴(kuò)散、信號(hào)處理與控制、流體力

5、學(xué)、圖像處理[3][4][5~8]、軟物質(zhì)研究、地震分析、粘彈性阻尼器、電力分形網(wǎng)絡(luò)、分?jǐn)?shù)階正弦振蕩器、[9][10][11]分形理論、分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)。但是由于分?jǐn)?shù)階微積分具有歷史依賴性與全域相關(guān)性，增加了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)方程的數(shù)值計(jì)算復(fù)雜性。在數(shù)值算法方面主要存在的問(wèn)題有：（1）長(zhǎng)時(shí)間歷程問(wèn)題一直沒(méi)有找到一個(gè)滿意的解決途徑，在數(shù)值模擬中，隨著時(shí)間歷程的增加計(jì)算量成指數(shù)增長(zhǎng)。同時(shí)一些學(xué)者提出的短期記憶方法只對(duì)很少一些情況有效，并不具有普適性。因而長(zhǎng)時(shí)間歷程問(wèn)題的解決任重道遠(yuǎn)。（2）在原有算法基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)出時(shí)間－空間混合的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)方程的算法和軟件。一種數(shù)學(xué)工具要

6、在工程中有廣泛的應(yīng)用，那么就必須有成熟的算法與軟件，像有限元的計(jì)算模擬軟件就有很多，所以有限元才能在工程界有如此廣泛的應(yīng)用。（3）分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義還不完善，現(xiàn)在[12]分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義有多種，至今還沒(méi)有一個(gè)完善到大多數(shù)學(xué)者能夠接受的定義。[12]現(xiàn)階段，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)方程的數(shù)值算法主要包括：（1）有限差分法：顯示格式，隱式格式，Crank-Nicholson格式，預(yù)估校正算法，線性算法等；（2）級(jí)數(shù)逼近法：變分迭代法，Adomian分解法，同倫攝動(dòng)法，通論分析法，微分轉(zhuǎn)換法等；（3）有限元法；（4）無(wú)網(wǎng)格方法；（5）一些新的算法：矩陣轉(zhuǎn)化法，外推法等。以上這些數(shù)值算

7、法各有優(yōu)缺點(diǎn)，不同的條件與方程適用于不同的算法，這需要我們對(duì)各種方法比較熟悉，能夠比較靈活的應(yīng)用。否則很容易得到錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果。另外一個(gè)難點(diǎn)是在數(shù)值計(jì)算中使用哪一個(gè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，這就涉及到定義的選擇問(wèn)題。根據(jù)大量文獻(xiàn)參考后，一般在時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算中一般使用Caputo定義，在空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)方程的數(shù)值計(jì)算中較多的使用Riemann-Liouville定義和級(jí)數(shù)定義。3.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義2關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，許多數(shù)學(xué)家各自從不同角度入手,給分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)分別以不同的定義。其定義的合理性與科學(xué)性已在實(shí)踐中得以檢驗(yàn)。這個(gè)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展已在實(shí)際問(wèn)題中,得到了廣泛的應(yīng)

8、用。本文這部分重點(diǎn)將分析