歐拉—拉格朗日方程

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1、歐拉－拉格朗日方程歐拉-拉格朗日方程(Euler-Lagrangeequation)為變分法中的一條重要方程。它提供了求泛函的平穩(wěn)值的一個(gè)方法。第一方程設(shè)，以及在中連續(xù)，并設(shè)泛函。若使得泛函J(y)取得局部平穩(wěn)值，則對(duì)于所有的，。推廣到多維的情況，記，，。若使得泛函取得局部平穩(wěn)值，則在區(qū)間內(nèi)對(duì)于所有的，皆有。第二方程設(shè)，及在中連續(xù)，若使得泛函取得局部平穩(wěn)值，則存在一常數(shù)C，使得。例子設(shè)及為直角坐標(biāo)上的兩個(gè)固定點(diǎn)，欲求連接兩點(diǎn)之間的最短曲線。設(shè)，并且；這里，為連接兩點(diǎn)之間的曲線。則曲線的弧長(zhǎng)為。現(xiàn)設(shè)，，取偏微分，則，，fx=fy=0。若y使得L

2、(y)取得局部平穩(wěn)值，則y符合第一方程：，。因此，，。隨t積分，，；這里，為常數(shù)。重新編排，，。再積分，x(t)=rt+r'，y(t)=st+s'。代入初始條件，；即可解得，是連接兩點(diǎn)的一條線段。另經(jīng)過(guò)其他的分析，可知此解為唯一解，并且該解使得L(y)取得極小值，所以在平面上連結(jié)兩點(diǎn)間弧長(zhǎng)最小的曲線為一直線。