微分幾何復(fù)習(xí)(學(xué)生用)

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1、微分幾何復(fù)習(xí)題一、填空題1.向量具有固定方向，則=。2.非零向量滿足的充要條件是。3.若向量函數(shù)滿足，則具有固定。4.曲線的正常點(diǎn)是指滿足的點(diǎn).5.曲線在任意點(diǎn)的切向量為。6.曲線在點(diǎn)的切向量為。7.曲線在點(diǎn)的切向量為。8.設(shè)曲線在P點(diǎn)的切向量為，主法向量為，則過(guò)P由確定的平面是曲線在P點(diǎn)的。9.若是曲線的正則點(diǎn)，則曲線在的密切平面方程是。10.曲線在點(diǎn)的單位切向量是，則曲線在點(diǎn)的法平面方程是。11.一曲線的副法向量是常向量，則這曲線的撓率。12.曲線在t=1點(diǎn)處有，則曲線在t=1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處其撓率=。13.曲線x=cost，y=sint,z=t在t=0處

2、的切線方程是。14.曲線的主法向量的正向總是指向。15.空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量。16.曲線的曲率是。17.曲線的撓率是。18.一般螺線的曲率和撓率的關(guān)系是。19.曲率為0的曲線是,撓率為0的曲線是。20.設(shè)有曲線，當(dāng)時(shí)的切線方程為。21.設(shè)有曲線，當(dāng)時(shí)的切線方程為。22.曲線在點(diǎn)的單位切向量是，則曲線在點(diǎn)的向量式法平面方程是。23.曲線在點(diǎn)的主法向量是，則曲線在P點(diǎn)的從切平面方程是。24.設(shè)曲線，其中s為曲線的自然參數(shù)，則。25.半徑為1的圓的撓率τ=。26.曲線在P點(diǎn)的撓率τ0時(shí)，表明曲線由下往上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)成右旋曲線.27.向量函數(shù)

3、=(t)對(duì)任意t有′(t)⊥(t)的充要條件是。28.已知曲線=(t)在P點(diǎn)的單位切向量為=(0,1,0)，單位主法向量=(0,0,1)，則曲線在P點(diǎn)的單位副法向量=。29.曲面上曲線的弧長(zhǎng)，交角，曲面域的面積等都是的的不變量。31.若點(diǎn)(u0,v0)為曲面的正則點(diǎn)，則在(u0,v0)滿足。32.曲面在點(diǎn)的法線方程是。33.如果曲線族和曲線族處處不相切，則稱(chēng)相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為。34.已知曲面的第一類(lèi)基本量為E、F、G，則兩方向du:dv與垂直的充要條件是。35.對(duì)曲面有,則曲面上曲線u=u(t),v=v(t)從到t(t>)的弧長(zhǎng)s=。36.若曲面在(0，1)

4、點(diǎn)處的第二基本形式，則在(0，1)點(diǎn)處，。其中為曲面的單位法向量。37.已知曲面的第二類(lèi)基本量L、M、N，則曲面上漸近曲線的微分方程是。38.撓率的曲線其副法向量是常向量。39.曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是40.曲面上一曲線，如果它每一點(diǎn)的切方向都是主方向，則稱(chēng)該曲線為。41.半徑為R的球面的高斯曲率K=。42．在曲面上圓點(diǎn)，其第一、第二類(lèi)基本量滿足關(guān)系。43．曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是。44．曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)的充要條件是。45．極小曲面是指的曲面。46．曲面上一點(diǎn)的主曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向的的最大值和最小值.47．兩個(gè)

5、曲面之間的變換是保角變換的充要條件是。48．設(shè)曲面在點(diǎn)P處有兩個(gè)同號(hào)的主曲率，則按高斯曲率的符號(hào)分類(lèi)，此點(diǎn)是曲面的。49．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率,使法曲率達(dá)到最大值和最小值的方向是曲面的方向.50．距離單位球面球心距離為d(0

6、條件是。57．方向是主方向的充要條件是。58．根據(jù)羅德里格定理，如果方向是主方向，則，其中是曲面沿方向(d)的法曲率。59．若曲面S為平面,則其第二基本形式Ⅱ=。60．曲面上使的點(diǎn)叫做曲面上的正常點(diǎn).61．曲面之間的一個(gè)變換，如果使兩曲面間對(duì)應(yīng)曲線的交角相等，則稱(chēng)這個(gè)變換為。62．若曲面在(0,1)點(diǎn)處的第二基本形式Ⅱ=du2+3dv2,為曲面的單位法向量，則在(0,1)點(diǎn)處，=。二、單項(xiàng)選擇題1．曲率和撓率均為非零常數(shù)的曲線是()A.直線；B.圓；C.圓柱螺線；D.平面曲線2．曲線的下列各量中,不是容許參數(shù)變換下的不變量的是是()A.曲率；B.撓率；C

7、.弧長(zhǎng)；D.切向量3．過(guò)空間曲線上點(diǎn)（非逗留點(diǎn)）的切線和點(diǎn)的鄰近點(diǎn)的平面，當(dāng)沿曲線趨于點(diǎn)時(shí)，平面的極限位置是曲線在點(diǎn)的()A.法平面；B.密切平面；C.從切平面；D.切線面4.圓柱螺線在點(diǎn)的切線為()A．；B.；C.；D.。5.圓柱螺線的切線與軸()Ａ.平行；　　　　　　?。?垂直；Ｃ.有固定夾角；　　　Ｄ.有固定夾角。6.設(shè)有平面曲線，為自然參數(shù)，是曲線的基本向量．下列敘述錯(cuò)誤的是()Ａ.為單位向量；　　?。?；Ｃ.；　　　　?。?。7.直線的曲率k為()Ａ.–１；?。?０；Ｃ.１；　Ｄ.２。8.關(guān)于平面曲線的曲率,為自然參數(shù),不正確的是()Ａ.；Ｂ.

8、，為的旋轉(zhuǎn)角；Ｃ.；Ｄ.。9.設(shè)曲線在P(s)點(diǎn)的基本向量是,則下列論述不正確的