求軌跡方程的方法

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1、§2.1　曲線與方程知識(shí)點(diǎn)一　直接法求曲線的方程　已知線段AB的長(zhǎng)度為10，它的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，則AB的中點(diǎn)P的軌跡方程是________．解析　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(2x,0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2y)．由兩點(diǎn)間的距離公式可得＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100，整理、化簡(jiǎn)得x2＋y2＝25.答案　x2＋y2＝25知識(shí)點(diǎn)二　代入法求曲線的方程　已知△ABC的兩頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(0,0)、B(6,0)，頂點(diǎn)C在曲線y＝x2＋3上運(yùn)動(dòng)，求△ABC重心的軌跡方程．

2、分析　由重心坐標(biāo)公式，可知△ABC的重心坐標(biāo)可以由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，而A、B是定點(diǎn)，且C在曲線y＝x2＋3上運(yùn)動(dòng)，故重心與C相關(guān)聯(lián)．因此，設(shè)出重心與C點(diǎn)坐標(biāo)，找出它們之間的關(guān)系，代入曲線方程y＝x2＋3即可．解　設(shè)G(x，y)為所求軌跡上任一點(diǎn)，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x′，y′)，則由重心坐標(biāo)公式，得∴∵頂點(diǎn)C(x′，y′)在曲線y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，①整理，得y＝3(x－2)2＋1，故所求軌跡方程為y＝3(x－2)2＋1.知識(shí)點(diǎn)三　定義法求曲線的方程　設(shè)A(1,0)，B(－

3、1,0)，若動(dòng)點(diǎn)M滿足kMA·kMB＝－1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．解　如圖所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)．由題意知：MA⊥MB.所以△MAB為直角三角形，AB為斜邊．又因?yàn)樵c(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，19所以，

4、MO

5、=，

6、AB

7、=1，所以，動(dòng)點(diǎn)M在以O(shè)(0,0)為圓心，

8、MO

9、為半徑的圓上．根據(jù)圓的方程的定義知：方程為x2+y2=1.又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M不能與點(diǎn)A，B重合，所以，x≠±1，所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=1(x≠±1)．知識(shí)點(diǎn)四　參數(shù)法求曲線的方程　已知定點(diǎn)P(a，b)不在坐標(biāo)軸上，動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P

10、，并分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，分別過(guò)A，B作x軸，y軸的垂線交于點(diǎn)M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．解　設(shè)M(x，y)，并設(shè)l：y－b＝k(x－a)，由題意知k存在，且k≠0，則得A(a－，0)，B(0，b－ak)，又AM，BM分別是x軸，y軸的垂線，得M(a－，b－ak)．即消去參數(shù)k，得xy－ay－bx＝0.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是xy－ay－bx＝0.知識(shí)點(diǎn)五　交軌法求曲線的方程　如果兩條曲線的方程是f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0，它們的交點(diǎn)是P(x0，y0)，證明：f1(x，y)＋λf2(x，y)

11、＝0的曲線也經(jīng)過(guò)P點(diǎn)(λ∈R)，并求經(jīng)過(guò)兩條曲線x2＋y2＋3x－y＝0和3x2＋3y2＋y＝0的交點(diǎn)的直線方程．解　∵P(x0，y0)是兩曲線的交點(diǎn)，∴f1(x0，y0)＝0，f2(x0，y0)＝0，∴f1(x0，y0)＋λf2(x0，y0)＝0.即方程f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0的曲線經(jīng)過(guò)P點(diǎn)．①×3－②得9x－4y＝0.即過(guò)兩曲線的交點(diǎn)的直線方程為9x－4y＝0.考點(diǎn)賞析1.(福建高考)如圖，已知點(diǎn)F（1,0），直線l:x=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且·=·.

12、求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.19解　方法一　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(1，y)，由·＝·得：(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化簡(jiǎn)得C：y2＝4x.方法二　由·＝·得：(·(＋)＝0，∴－)·(＋)＝0，2－2－2＝0，∴

13、

14、＝

15、

16、.所以點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y2＝4x.2.（陜西高考）如圖所示，三定點(diǎn)A（2，1），B（0，1），C（2，1）；三動(dòng)點(diǎn)D，E，M滿足=t，=t，=t，t∈［0，1］.(1)求動(dòng)直線DE斜率的變化范圍；(2)求動(dòng)點(diǎn)

17、M的軌跡方程．解　(1)設(shè)D(xD，yD)，E(xE，yE)，M(x，y)由=t，=t，知（xD2，yD1）=t（2，2），∴同理∴kDE＝＝＝1－2t.∵t∈[0,1]，∴kDE∈[－1,1]．（2）∵t＝t，∴(x＋2t－2，y＋2t－1)＝t(－2t＋2t－2,2t－1＋2t－1)＝t(－2,4t－2)＝(－2t,4t2－2t)．∴∴y＝，即x2＝4y.∵t∈[0,1]，∴x＝2(1－2t)∈[－2,2]．所求軌跡方程為x2＝4y，x∈[－2,2]19　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

18、1．如果命題“坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上”是不正確的，那么下列命題中正確的是(　　)A．坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0的點(diǎn)都不在曲線C上B．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)不都滿足方程f(x，y)＝0C．坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)有些在曲線C上，有些不在曲線C上D．至少有一個(gè)不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0答案　D解析　對(duì)于命題“坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上”的否定是“坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)不都在曲