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《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 第四章 非線性回歸模型的線性化》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、第四章非線性回歸模型的線性化以上介紹了線性回歸模型。但有時(shí)候變量之間的關(guān)系是非線性的。例如yt=a0+a1+utyt=a0+ut上述非線性回歸模型是無(wú)法用最小二乘法估計(jì)參數(shù)的?？刹捎梅蔷€性方法進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)過(guò)程非常復(fù)雜和困難，在20世紀(jì)40年代之前幾乎不可能實(shí)現(xiàn)。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)大大方便了非線性回歸模型的估計(jì)。專(zhuān)用軟件使這種計(jì)算變得非常容易。但本章不是介紹這類(lèi)模型的估計(jì)。另外還有一類(lèi)非線性回歸模型。其形式是非線性的，但可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化為線性模型，然后利用線性回歸模型的估計(jì)與檢驗(yàn)方法進(jìn)行處理。稱(chēng)
2、此類(lèi)模型為可線性化的非線性模型。下面介紹幾種典型的可以線性化的非線性模型。4.1可線性化的模型⑴指數(shù)函數(shù)模型yt=(4.1)b>0和b<0兩種情形的圖形分別見(jiàn)圖4.1和4.2。顯然xt和yt的關(guān)系是非線性的。對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取自然對(duì)數(shù)，得Lnyt=Lna+bxt+ut(4.2)令Lnyt=yt*,Lna=a*,則yt*=a*+bxt+ut(4.3)變量yt*和xt已變換成為線性關(guān)系。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。圖4.1yt=,(b>0)圖4.2yt=,(b<0)15⑵對(duì)數(shù)函數(shù)模型yt=a+bLnxt+
3、ut(4.4)b>0和b<0兩種情形的圖形分別見(jiàn)圖4.3和4.4。xt和yt的關(guān)系是非線性的。令xt*=Lnxt,則yt=a+bxt*+ut(4.5)變量yt和xt*已變換成為線性關(guān)系。圖4.3yt=a+bLnxt+ut,(b>0)圖4.4yt=a+bLnxt+ut,(b<0)⑶冪函數(shù)模型yt=axtb(4.6)b取不同值的圖形分別見(jiàn)圖4.5和4.6。xt和yt的關(guān)系是非線性的。對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取對(duì)數(shù)，得Lnyt=Lna+bLnxt+ut(4.7)令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt
4、,則上式表示為yt*=a*+bxt*+ut(4.8)變量yt*和xt*之間已成線性關(guān)系。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。(4.7)式也稱(chēng)作全對(duì)數(shù)模型。圖4.5yt=axtb圖4.6yt=axtb15⑷雙曲線函數(shù)模型1/yt=a+b/xt+ut(4.9)也可寫(xiě)成，yt=1/(a+b/xt+ut)(4.10)b>0情形的圖形見(jiàn)圖4.7。xt和yt的關(guān)系是非線性的。令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得yt*=a+bxt*+ut已變換為線性回歸模型。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。圖4.7yt=1/(a+b/xt),
5、(b>0)圖4.8yt=a+b/xt,(b>0)雙曲線函數(shù)還有另一種表達(dá)方式，yt=a+b/xt+ut(4.11)b>0情形的圖形見(jiàn)圖4.8。xt和yt的關(guān)系是非線性的。令xt*=1/xt，得yt=a+bxt*+ut上式已變換成線性回歸模型。例4.2（P139，例3.5⑸多項(xiàng)式方程模型一種多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut(4.12)其中b1>0,b2>0,b3>0和b1<0,b2>0,b3<0情形的圖形分別見(jiàn)圖4.9和4.10。令xt1=xt，xt2=xt2
6、，xt3=xt3，上式變?yōu)閥t=b0+b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut(4.13)這是一個(gè)三元線性回歸模型。如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的總成本曲線與圖4.9相似。15圖4.9yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut圖4.10yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut另一種多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+ut(4.14)其中b1>0,b2>0和b1<0,b2<0情形的圖形分別見(jiàn)圖4.11和4.12。令xt1=xt，xt2=xt2，上式線性化為，yt=b0+b1xt1
7、+b2xt2+ut(4.15)如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本曲線、平均成本曲線與圖4.11相似。圖4.11yt=b0+b1xt+b2xt2+ut圖4.12yt=b0+b1xt+b2xt2+ut例4.3（P141例3.6）⑹生長(zhǎng)曲線(logistic)模型yt=(4.16)一般f(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn，常見(jiàn)形式為f(t)=a0-atyt==(4.17)其中b=。a>0情形的圖形分別見(jiàn)圖4.13和4.14。美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Pearl和Reed廣泛研究了有機(jī)體的生長(zhǎng)，得到了上述數(shù)學(xué)模型。生長(zhǎng)
8、模型（或邏輯斯諦曲線，Pearl-Reed曲線）常用于描述有機(jī)體生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程。其中k和0分別為yt15的生長(zhǎng)上限和下限。=k,=0。a,b為待估參數(shù)。曲線有拐點(diǎn)，坐標(biāo)為（,），曲線的上下兩部分對(duì)稱(chēng)于拐點(diǎn)。圖4.13yt=k/(1+)圖4.14yt=k/(1+)為能運(yùn)用最小二乘法估計(jì)參數(shù)a,b，必須事先估計(jì)出生曲線長(zhǎng)上極限值k。線性化過(guò)程如下。當(dāng)k給出時(shí)，作如下變換，k/yt=1+移項(xiàng)，k/yt-1=取自然對(duì)數(shù)，Ln(k/yt-1)=Lnb-at+ut(4.18)令yt*=Ln(k/
