并矢格林函數(shù)作業(yè)

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1、并矢格林函數(shù)作業(yè)鄭穎（20401209）一、格林函數(shù)簡介格林函數(shù)是柏松方程在無界空間的解，格林函數(shù)法在求解電磁問題中應(yīng)用廣泛。格林函數(shù)法又稱作積分法，從物理含義和數(shù)學(xué)形式上說，格林函數(shù)是一種普遍的概念，格林函數(shù)也是一種具有普遍意義上的方法，由于積分與坐標(biāo)系無關(guān)，我們可以采取不同的坐標(biāo)系，應(yīng)用多種方法建立格林函數(shù)，因而使格林山蜀的計算獲得了廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用格林函數(shù)處理電磁上工程問題，在某些場合可以使界的表達(dá)式更加簡潔，處理方法更為巧妙；更有意義的是，引入格林函數(shù)的主要目的在于建立積分方程，隨著計算機的高速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使難于解析求解的積分方程便

2、于計算。無界空間中的標(biāo)量格林函數(shù)常稱為相應(yīng)標(biāo)量格林函數(shù)方程的解本解。在無界空間中，時諧波的格林函數(shù)滿足如下標(biāo)量方程：（1）以及輻射條件：（2）利用標(biāo)量格林函數(shù)來簡化標(biāo)量的表示是很普遍的，標(biāo)量格林函數(shù)并不限于應(yīng)用在標(biāo)量位，凡電磁場的直角份量都與標(biāo)量位滿足相同形式的方程我們都可以應(yīng)用標(biāo)量格林函數(shù)。實際上有些特殊的并矢格林函數(shù)問題只涉及到并矢格林函數(shù)的一個直角分量，完全可以用標(biāo)量格林函數(shù)來表示，所以標(biāo)量格林函數(shù)是很有實際用途的。二、并矢格林函數(shù)引入我們可以用標(biāo)量格林函數(shù)來局部的表示矢量位的每一個直角分量，然而矢量場比矢量位出現(xiàn)更多的分量，在一定的邊值

3、條件下可以分解為三個直角分量。在這種情況下，如果只引入格林函數(shù)的矢量形式，是不足以完備的表達(dá)出被積函數(shù)中格林函數(shù)與矢量源相乘時各分量之間復(fù)雜的取向關(guān)系。我們用并矢格林函數(shù)來進(jìn)行這種表達(dá)，其定義式為：（3）A、B分別稱為前元素和后元素。把A、B寫成分量形式：則上式為：（4）也可以寫成：（5）顯然：（6）其它分量類似。并矢的前后矢量之間沒有物理內(nèi)容上的聯(lián)系，只有數(shù)學(xué)形式上的聯(lián)系，它與其它矢量或并矢相互作用時，才變得有意義。并矢格林函數(shù)常用性質(zhì)旋度：（7）散度：（8）單位并矢：（9）并矢格林函數(shù)的分類有兩種分類方法：1）可以分為電型并矢格林函數(shù)和磁型

4、并矢和林函數(shù)，簡稱電并矢和磁并矢。矢量電位并矢格林函數(shù)，矢量電位并矢格林函數(shù)。為了表示三個不同方向電流源產(chǎn)生3x3個場分量，把電場和磁場滿足的方程寫成并矢形式有（10）（11）這里不需要刻意按照并矢的定義去找兩個矢量，使其外乘等于并矢，只要知道方程組中的各并矢具有(4)式的形式，其中源的每一列或每一行對應(yīng)于或的每一列或每一行，而算子則是分別對每一列或每一行起作用，至于是列或是行取決于以后將并矢格林函數(shù)的源項放在右還是左。取（12）式中表示三個正交方向的電流元(點電流源)，為點電流源電流矩，為單位并矢。令，將電流矩歸一化:把，，代入方程（10）和

5、（11）可以得到：（13）（14）方程(13)或(14)的齊次邊界條件的解和即為并矢格林函數(shù)，分別稱和，為電型并矢格林函數(shù)和磁型并矢和林函數(shù)，簡稱電并矢和磁并矢。并矢方程(13)或(14)實際上是三個分離的矢量方程，可以分別求解別求解，也可以用并矢的形式合起來分析。2）根據(jù)邊界條件分類：是按邊界條件來劃分的，以電場為例，在待求域邊界上，若給定邊界條件，（15）（16）對應(yīng)的并矢格林函數(shù)分別稱為第一類、第二類并矢格林函數(shù)。若待求區(qū)域存在分界面，在分界面上給定邊界條件（17）（18）對應(yīng)的函數(shù)稱為第三類并矢格林函數(shù)。對于無界區(qū)域，在無耗媒質(zhì)中無窮遠(yuǎn)

6、處給定輻射條件（19）式中，R為源點到場點r的距離，為無窮遠(yuǎn)處的單位外法矢。若待求區(qū)域的三個維度均為無界，對應(yīng)的并矢格林函數(shù)為自由空間的并矢格林函數(shù)。由互易定理同樣可以導(dǎo)出并矢格林函數(shù)的對稱性，即。與標(biāo)量問題相同，若能通過某種方法求得并矢格林函數(shù)，則任意分布源的場可以通過并矢格林函數(shù)來用積分構(gòu)造。矢量的并矢格林定理：　　（20）取，，并考慮函數(shù)的篩選性質(zhì)，有：?。?1）將變量和以及的前后元素互換（或者直接利用的對稱性）得到　（22）同理，對于磁場，取，，利用矢量的并矢公式（23）有：（24）從推導(dǎo)過程可知，(22)和(23)式中的并矢格林函數(shù)并

7、不限定必須取與所求問題具有相同邊界條件或相同類型，例如(22)式中可以取自由空間中的并矢格林函數(shù)等，但此時面積分項不為零。只有當(dāng)所求場量與并矢格林函數(shù)類型相同且具有相同邊界條件時，表達(dá)式中的面積分項為零并有最簡單積分形式。利用格林函數(shù)可以給出或原則上給出具有相同齊次約束方程和邊界條件的邊值問題的解析解，此種求取電磁場解的方法稱為(并矢)格林函數(shù)法。在逆散射問題(散射反演)的研究中，可以用并矢格林函數(shù)推導(dǎo)散射場與總場的關(guān)系?？紤]一般非均勻媒質(zhì)情況，電場滿足方程　　　　　?。?6）并矢格林函數(shù)滿足方程　　　　?。?7）式中，和為常數(shù)。方程２６可以轉(zhuǎn)

8、化為　　　　?。?8）把看成等效源，根據(jù)格林函數(shù)法有：　（29）式中稱為入射電場，是與并矢格林函數(shù)具有相同邊界條件和相同齊次約束方程的分布源的場。當(dāng)并