兩類平幾題的輔助圓解(證)法

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1、兩類平幾題的輔助圓解（證）法毛永吉發(fā)表于“數(shù)學教學通迅”1991年笫3期添加輔助線是解決初等幾何問題的重要手段之一，同時也往往是解題的關(guān)鍵之所在。以點、線段和直線等作為輔助線是大家最熟悉和最常用的，至于以圓或圓弧作為輔助線則少見。本文專門談以圓作為輔助線（稱為輔助圓）的兩類平幾問題。一、共端點的等線段問題，常作以公共端點為圓心，等長線段為半徑的確圓，則易溝通題設和結(jié)論的聯(lián)系，使問題迅速獲解。例1已知四邊形ABCD中，AB//CD，AB=AC=AD=5，BC=，求BD.解：以A為圓心、AB為半徑畫圓，則B、C、D三點在⊙A上.延長BA交⊙A于E，連結(jié)DE.因BE是⊙A的直徑T∠EDB

2、=900且BE=2AB=10.例2（上海1984年初中數(shù)學競賽題）如圖，AB=AC=AD，∠DAC是∠CAB的K倍，則∠DBC是∠BDC的（）倍.（A）K倍；（B）2K倍；（C）3K倍；（D）都不對.解：以A為圓心，AB為半徑畫圓，則B、C、D三點在⊙A上.由圓周角定理可得.所以答案是（A）.例3如圖，AB=AC=AD=BC，AH⊥CD，CP⊥BC.證明：以A為圓心AB為半徑作⊙A，則B、C、D都在⊙A上，且∴∠BDC=∠ACP.∴△BDC∽△ACP.∴BC：AP=BD：AC.∴BC2=AP·BD.二、共頂點的等角問題，常作以公共頂點為一個頂點的三角形的外接圓，從而使等角與輔助圓中

3、有關(guān)角的性質(zhì)建立起聯(lián)系，從而使問題獲得簡捷的解決。例4△ABC中，∠A的外角平分線交BC的延長線于D.證明：作△ACD的外接圓交BA的延長線于F.連結(jié)FD，則DC=DF.∵∠ACB=∠DFB，∠B=∠B，∴△ABC∽△DBF例5證明任何三角形三個內(nèi)角的平分線的連乘積必小于三邊的連乘積.證明：設a、b、c及ta、tb、tc為△ABC的三條邊及三條角平分線。作△ABC的外接圓交∠A的平分線AD的延長線于E，連EC，則△EAC∽△BAD同理ac>tb2,ab>ta2.∴a2b2c2>ta2tb2tc2,即abc>tatbtc.例6自△ABC的頂點A引兩條射線交BC于D、E，使∠BAD=∠

4、CAE.（上海市1986年初中數(shù)學競賽題）證明：作△ADE的外接圓交AB于F，交AC于H，連FH、則∴FH∥BC.顯然，當E重合于D時，有這就是三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理；當BD=CE時,有BE=CD，從而有這就是1986年全國初中數(shù)學競賽題例7在△ABC中，∠C=3∠A，a=27,c=48,求b（第36屆美國中學生數(shù)學競賽題）。解：作∠ACD=∠BCE=∠BAC交△ABC的外接圓于D、E，連AD、DE、EB、DB，則AD=DE=EB=BC=27，DC=AB=48.設DB=CE=x，則在四邊形DEBC中，由托勒密定理，有在四邊形ADBC中，由DB·AC+AD·BC=AB·DC得