輔助圓：優(yōu)美的別解

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1、輔助圓：優(yōu)美的別解江蘇省溧水縣第一初級中學(xué)呂小保2009年河北省中考數(shù)學(xué)第24題，是一道頗具創(chuàng)意的考題.該題通過旋轉(zhuǎn)、壓縮變化，從特殊到一般，由易到難，不僅突出考查了正方形、等腰三角形、直角三角形、中位線定理等幾何核心知識和發(fā)現(xiàn)問題、研究解決問題的能力，較好地體現(xiàn)了新課程“四基”“兩能”目標(biāo)培養(yǎng)新理念，而且解法多樣，特別的是本題有著優(yōu)美的輔助圓別解.試題：在圖1（1）至圖1（3）中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點(diǎn)是M．（1）如圖（1），點(diǎn)E在AC的延長線上，

2、點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM=MH，F(xiàn)M⊥MH；（2）將圖（1）中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖（2），求證：△FMH是等腰直角三角形；E（1）AHC(M)DBFG(N)G（2）AHCDEBFNMAHCDE（3）BFGMN圖1（3）將圖（2）中的CE縮短到圖（3）的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？（不必說明理由）簡解：（1）本小問較為容易，故省略；（2）方法1：如圖2，連結(jié)MB、MD，設(shè)FM與AC交于點(diǎn)P．圖2AHCDEBFGNMP∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點(diǎn)，∴MD∥BC，且

3、MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH．∴四邊形BCDM是平行四邊形．∴∠CBM?=∠CDM．又∵∠FBP?=∠HDC，∴∠FBM?=∠MDH．∴△FBM?≌?△MDH．∴FM?=?MH，且∠MFB?=∠HMD．∴∠FMH?=∠FMD－∠HMD?=∠APM－∠MFB?=∠FBP?=?90°．圖3AHCDEBFGNM∴△FMH是等腰直角三角形．方法2：如圖3，連結(jié)MB、MD.∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點(diǎn)，BC=CD，∴BM=BC=BA=DM=DC=DE.∴以點(diǎn)B、D為圓心，BC、DC為半徑的⊙B、

4、⊙D都經(jīng)過點(diǎn)M.而在⊙B、⊙D中，圓心角∠FBA=?90°，∠HDE=?90°，3∴∠FMA?==?45°，∠HME?==45°．∴∠FMH?=180°－∠FMA－∠HME?=?90°．∵AC=CE，∴∠CAM?=∠CEM．又∵∠FAB=∠HED=45°，∴∠CAM?+∠FAB=∠CEM+∠HED，即∠FAM?=∠HEM．又∵⊙B與⊙D為等圓，∴FM=HM.∴△FMH為等腰直角三角形．（3）是．點(diǎn)評賞析：（1）如何想到構(gòu)造輔助圓？添加圓的依據(jù)又是什么？首先，從問題（證明△FMH是等腰直角三角形）入手.要證∠FMH?=

5、?90°，可轉(zhuǎn)化證明∠FMA?=∠HME=?45°．其次，從圖形來看，要證明度數(shù)為?45°的∠FMA、∠HME分別與已知直角∠FBA、∠HDE之間的位置成圓周角與圓心角的位置關(guān)系，因此分別構(gòu)造以B、D為圓心，∠FMA、∠HME為圓周角的圓.添加圓的依據(jù)主要有：依據(jù)1：圓的定義——到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合是圓.本題中，點(diǎn)A、F、M到點(diǎn)B的距離相等（理由見別解），所以點(diǎn)A、F、M在以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的圓上.根據(jù)圓周角定理，得∠FMA?==45°.同理，點(diǎn)H、M、E在以點(diǎn)D為圓心，CD為半徑的圓上，∠HME?==

6、45°.依據(jù)2：直角三角形外接圓的圓心在其斜邊的中點(diǎn)處.如圖1（2），△ACM?與△CEM都為直角三角形，所以△ACM?與△CEM外接圓的直徑分別為AC、CE，圓心分別為點(diǎn)B、D，且⊙B、⊙D分別經(jīng)過點(diǎn)F、H.依據(jù)3：四點(diǎn)共圓的條件.由∠AMC?=∠AFC?=?90°、∠CME?=∠CHE?=?90°，得點(diǎn)A、M、C、F和點(diǎn)C、M、E、H分別共圓，圓心分別為點(diǎn)B、D.簡單地說，添加圓有以下4個(gè)步驟：一化、二看、三想、四證.其中，“一化”就是要從問題入手，轉(zhuǎn)化問題；“二看”就是要能從題目的已知條件和圖形出發(fā)，觀察未知元

7、素與已知元素之間的位置關(guān)系；“三想”就是要能根據(jù)位置關(guān)系進(jìn)行聯(lián)想，猜想其背后隱藏的特有關(guān)系；“四證”就是要有根有據(jù)，運(yùn)用幾何知識對猜想進(jìn)行驗(yàn)證.（2）用到圓中哪些知識？除了用到上述圓的定義、直角三角形外接圓的圓心位置或四點(diǎn)共圓的條件之外，還用到圓周角定理（一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）及推論（等圓中，相等的圓周角所對的弦也相等）.（3）別解有何優(yōu)美？首先，方法2運(yùn)用輔助圓，解題思路更清晰、直接，也更好理解，有一種簡潔大方之美.從方法1來看，證明∠FMH?=?90°尤為繁瑣，其中經(jīng)過了諸多的等角代換（有4

8、次之多），這其中所涉及到的轉(zhuǎn)化方向、技巧和觀察分析圖形的能力3要求都比較高，不要說解題了，就是理解起來都比較困難.而構(gòu)造輔助圓，則把要證明的目標(biāo)與已知條件之間的距離大為縮短，變?yōu)橐徊街?，直接運(yùn)用圓周角定理就行（∠FMA?==45°，∠HME?==45°）.其次，方法2更有一種大氣、居高臨下之美.通過輔助圓的應(yīng)用，不僅有助于加深學(xué)生對圓的概念的