一道解幾題的幾個變式

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1、一道解幾證明題的幾個變式研究題目：在平面直角坐標系中，橢圓，左右頂點分別為，直線過點且垂直于軸，點為直線上的動點，直線交橢圓于點.(1)求證：為定值；(2)設(shè)以線段為直徑的圓與直線交于點，求證：直線過定點.【分析一】本題是解析幾何中常見的定值、定點問題.首先，第一問探求動點下的定數(shù)量積，常見處理有兩種：一是先設(shè)坐標，利用三點共線統(tǒng)一兩者坐標，再利用橢圓方程進行消元，該方法的理論依據(jù)為，要求數(shù)量積，需要點坐標，于是想到設(shè)坐標.二是先設(shè)直線方程，然后求的坐標，過程涉及聯(lián)立方程消元、韋達定理的應(yīng)用.兩種解法最終都是要解決點的坐標，只是

2、出發(fā)點不同，一為直接設(shè)點，二為間接求點.但切記兩條線一般不交叉使用，否則很容易繞不出來【解】方法一：設(shè)【意識很重要，該式子一定后面肯定會用到】由共線得∴為定值方法二：設(shè)方程為聯(lián)立橢圓方程得：，化簡得則，所以，同時，∴【不難發(fā)現(xiàn)，方法二在運算上略煩一些】【分析二】本題的第二問探求動直線過定點問題，根據(jù)經(jīng)驗，將分別取為關(guān)于軸的動點，不難發(fā)現(xiàn)所得動直線必關(guān)于軸對稱，所以直線所過定點必為軸上的點，為后面證明提供明確方向.那一般情形如何證明？動直線過定點，當然要把動直線方程求出來，即求的方程.如果第一問用方法一，則第二問應(yīng)這樣完成：解：由

3、題意，所以∴的方程為令，，下面只要能證明為常數(shù)即可由（1）可知，代入得即過定點【因為前面已經(jīng)作出猜想，定點在軸上，所以就可以按上述方案處理】如果第一問用方法二，則第二問應(yīng)這樣完成：解：由題意，且，所以，而∴的方程為，即顯然過定點該問最關(guān)鍵的步驟應(yīng)該是將條件“以線段為直徑的圓與直線交于點”等價轉(zhuǎn)化為“”，否則將可能因方法選取不當，無功而返.下面給出一些變式，供大家研究參考1.在平面直角坐標系中，橢圓的左右頂點分別為，直線過點且垂直于軸，點為直線上的動點（異于點），直線交橢圓于點.（1）求證：為定值；（2）求證：直線與直線的斜率之積

4、為定值；（3）設(shè)以線段為直徑的圓為圓，過點作圓的切線，切點為，求證：長為定值；2.在平面直角坐標系中，橢圓的左右頂點分別為，直線過點且垂直于軸，點為直線上的動點（異于點），直線交橢圓于點.設(shè)以線段為直徑的圓交直線于點，求證：直線過定點.1.在平面直角坐標系中，橢圓的左右頂點分別為，為橢圓上的動點，，過點作直線的垂線交直線于點，求證：點在一定直線上.2.在平面直角坐標系中，橢圓的右頂點為，直線過點且垂直于軸，點為直線上的動點（異于點），，過點作直線的垂線交橢圓于點.求證：（1）為定值；（2）直線過定點.