《初等數(shù)論》教學(xué)大綱

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1、課程名稱：初等數(shù)論（ElementaryNumberTheory）《初等數(shù)論》教學(xué)大綱一、課程說明“初等數(shù)論”課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范）的一門專業(yè)選修課。數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)一些初等數(shù)論的基礎(chǔ)知識可以加深對數(shù)的性質(zhì)的了解與認(rèn)識，便于理解和學(xué)習(xí)與其相關(guān)的一些課程。通過這門課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得關(guān)于整數(shù)的整除性、不定方程、同余式、原根與指標(biāo)及簡單連分?jǐn)?shù)的基本知識，掌握數(shù)論中的最基本的理論和常用的方法，加強(qiáng)他們的理解和解決數(shù)學(xué)問題的能力，為今后的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。本課程屬于數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)專業(yè)（師范）的專業(yè)選修課。本課程的教學(xué)時間安排：每周2節(jié)

2、課，計(jì)劃教學(xué)周為16周，總課時數(shù)32學(xué)時，其中實(shí)踐時數(shù)0學(xué)時。本課程總學(xué)分?jǐn)?shù)為2學(xué)分。本課程安排在第5學(xué)期開設(shè)。二、學(xué)時分配表教學(xué)內(nèi)容授課學(xué)時實(shí)踐學(xué)時第一章第二章第三章第四章第五章整數(shù)的可除性不定方程同余同余式二次同余式與平方剩余66668合計(jì)32三、教學(xué)目的與要求初等數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學(xué)科，歷史上遺留下來沒有解決的大多數(shù)數(shù)論難題其問題本身容易搞懂，容易引起人的興趣，但是解決它們卻非常困難。本課程的目的是簡單介紹在初等數(shù)論研究中經(jīng)常用到的若干基礎(chǔ)知識、基本概念、方法和技巧。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生加深對整數(shù)的性質(zhì)的了解，更深入地理解初等數(shù)論

3、與其它鄰近學(xué)科的關(guān)系。四、教學(xué)內(nèi)容綱要第一章整數(shù)的可除性（6學(xué)時）目的要求：1、理解整數(shù)整除、公因子、公倍數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)，理解剩余定理，熟練掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍數(shù)的方法?！　?、理解素數(shù)與合數(shù)的概念、素數(shù)的性質(zhì)，理解整數(shù)的素數(shù)分解定理，會用篩法求素數(shù)。3、了解函數(shù)[x]與{x}的概念、性質(zhì)，n!的素數(shù)分解、組合數(shù)為整數(shù)的性質(zhì)。難點(diǎn)：定理的證明處理方法，定理的靈活運(yùn)用。講授內(nèi)容：1、整除的概念、帶余數(shù)除法　?。?）整除、因數(shù)；（2）帶余數(shù)除法、不完全商、余數(shù)。2、最大公約數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法　?。?）公因數(shù)、最大公因數(shù)、互素；（2）最

4、大公因數(shù)的性質(zhì)；（3）最大公因數(shù)的求法。3、整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍數(shù)　?。?）整除的性質(zhì)；（2）公倍數(shù)、最小公倍數(shù)；（3）最小公倍數(shù)的性質(zhì)。4、質(zhì)數(shù)、算術(shù)基本定理（1）質(zhì)數(shù)與性質(zhì)；（2）算術(shù)基本定理；（3）篩法。5、函數(shù)[x]，{x}及其在數(shù)論中的一個應(yīng)用（1）[x]，{x}與性質(zhì)；（2）n!中素因子的指數(shù)。第二章不定方程（6學(xué)時）目的要求：1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整數(shù)解的條件，熟練掌握利用剩余定理（輾轉(zhuǎn)相除法）求二元一次不定方程的方法?！　?、知道多元一次不定方程有解的條件，會求解簡單的多元一次不定方程。3、知道

5、不定方程的整數(shù)解的形式，會求形如在特定條件下的整數(shù)解。難點(diǎn)：多元不定方程有整數(shù)解的判定及求解。講授內(nèi)容：1、二元一次不定方程（1）二元一次不定方程的性質(zhì)；（2）二元一次不定方程的求解。2、多元一次不定方程（1）多元一次不定方程的一般理論；（2）三元一次不定方程的求解；（3）最大不可表數(shù)問題的介紹。3、勾股數(shù)與費(fèi)馬問題介紹（1）不定方程的一般結(jié)論；（2）費(fèi)馬問題的介紹。第三章同余（6學(xué)時）目的要求：1、同余的概念及性質(zhì)　　整數(shù)同余的概念、同余的基本性質(zhì)，整數(shù)具有素因子的條件，利用同余簡單驗(yàn)證整數(shù)乘積運(yùn)算的結(jié)果?！　?、剩余系、完全剩余系　　剩余系、

6、完全剩余系的概念，判斷剩余系的方法，歐拉函數(shù)的定義及性質(zhì)。　　3、歐拉定理及其應(yīng)用歐拉定理、Fermat小定理，循環(huán)小數(shù)的判定條件。難點(diǎn)：簡化剩余系及歐拉函數(shù)、歐拉定理及其應(yīng)用。講授內(nèi)容：1、同余的概念及其基本性質(zhì)（1）同余、模；（2）同余的應(yīng)用。2、剩余類及完全剩余系（1）剩余類、完全剩余系；（2）完全剩余系的性質(zhì)。3、簡化剩余系與歐拉函數(shù)（1）歐拉函數(shù)；（2）簡化剩余系；（3）歐拉函數(shù)表達(dá)式。4、歐拉定理、費(fèi)馬定理及對循環(huán)小數(shù)的應(yīng)用（1）歐拉定理；（2）費(fèi)馬定理；（3）循環(huán)小數(shù)。第四章同余式（6學(xué)時）目的要求：1、基本概念及一次同余式　　同余

7、式的定義，一次同余式有解的條件，求解同余式?！　?、孫子定理　　中國剩余定理，中國剩余定理的應(yīng)用，求解同余式方程組。　　3、高次同余式的解數(shù)及解法　　判斷高次同余式的解個數(shù)，解高次同余式的方法，模整數(shù)同余式與模素數(shù)同余式的關(guān)系，求解簡單的（3、4次）同余式?！　?、質(zhì)數(shù)模的同余式素數(shù)模同余式的次數(shù)化簡，Wilson定理，同余式的次數(shù)與解數(shù)的關(guān)系，n次同余式有n個解的條件。難點(diǎn)：高次同余式的求解。講授內(nèi)容：1、基本概念及一次同余式（1）同余式；（2）一次同余式。2、孫子定理（1）孫子定理；（2）孫子定理的應(yīng)用。3、高次同余式的解數(shù)及解法（1）高次同

8、余式的求解理論；（2）模為的高次同余式。4、質(zhì)數(shù)模的同余式（1）質(zhì)數(shù)模的同余式；（2）wilson定理；（3）解數(shù)定理。第五章同余式（8