理論力學(xué)(陳世民)答案

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1、第零章數(shù)學(xué)準(zhǔn)備一泰勒展開式1二項(xiàng)式的展開2一般函數(shù)的展開特別:時(shí),3二元函數(shù)的展開(x=y=0處)評(píng)注：以上方法多用于近似處理與平衡態(tài)處的非線性問(wèn)題向線性問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。在理論力問(wèn)題的簡(jiǎn)單處理中，一般只需近似到三階以內(nèi)。二常微分方程1一階非齊次常微分方程：通解：注：積分時(shí)不帶任意常數(shù)，可為常數(shù)。2一個(gè)特殊二階微分方程通解：注：為由初始條件決定的常量3二階非齊次常微分方程通解：；為對(duì)應(yīng)齊次方程的特解，為非齊次方程的一個(gè)特解。非齊次方程的一個(gè)特解（1）對(duì)應(yīng)齊次方程設(shè)得特征方程。解出特解為，。*若則，；*若則，；*若則，；（1）若為二次多項(xiàng)式*時(shí)，可設(shè)*時(shí)，可設(shè)注：以上,,

2、A,B,C,D均為常數(shù)，由初始條件決定。三矢量1矢量的標(biāo)積注：常用于一矢量在一方向上的投影1矢量的矢積四矩陣此處僅討論用矩陣判斷方程組解的分布情形。令*D=0時(shí)，方程組有非零解*D0時(shí)，方程只有零解第一章牛頓力學(xué)的基本定律萬(wàn)丈高樓從地起。整個(gè)力學(xué)大廈的地基將在此筑起，三百年的人類最高科學(xué)智慧結(jié)晶將飄來(lái)他的古樸與幽香。此時(shí)矢量言語(yǔ)將盡顯英雄本色，微積分更是風(fēng)光占盡?！疽c(diǎn)分析與總結(jié)】1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述（1）直線坐標(biāo)系（2）平面極坐標(biāo)系（3）自然坐標(biāo)系（4）柱坐標(biāo)系〈析〉上述矢量順序分別為：矢量微分：（其它各矢量微分與此方法相同）微分時(shí)一定要注意矢量順序2牛頓定律慣性定

3、律的矢量表述（1）直角坐標(biāo)系中（1）極挫標(biāo)系中（2）自然坐標(biāo)系中3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本定理幾個(gè)量的定義：動(dòng)量角動(dòng)量沖量力矩沖量矩動(dòng)能（1）動(dòng)量定理方向上動(dòng)量守恒：（2）動(dòng)量矩定理（3）動(dòng)能定理4機(jī)戒能守恒定理T+V=E〈析〉勢(shì)函數(shù)V:穩(wěn)定平衡下的勢(shì)函數(shù)：;此時(shí)勢(shì)能處極小處且能量滿足【解題演示】1細(xì)桿OL繞固定點(diǎn)O以勻角速率轉(zhuǎn)動(dòng)，并推動(dòng)小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動(dòng)，O點(diǎn)與鋼絲間的垂直距離為d，如圖所示。求小環(huán)的速度和加速度。解：依幾何關(guān)系知：又因?yàn)椋汗剩?橢圓規(guī)尺AB的兩端點(diǎn)分別沿相互垂直的直線Oχ與Oy滑動(dòng)，已知B端以勻速c運(yùn)動(dòng)，如圖所示。求橢圓規(guī)尺上M點(diǎn)的軌道方程、速

4、度及加速度的大小υ與α。解：依題知：且：得：又因M點(diǎn)位置：故有：代入（*）式得：即：1一半徑為r的圓盤以勻角速率沿一直線滾動(dòng)，如圖所示。求圓盤邊上任意一點(diǎn)M的速度和加速度（以O(shè)、M點(diǎn)的連線與鉛直線間的夾角θ表示）；并證明加速度矢量總是沿圓盤半徑指向圓心。解：設(shè)O點(diǎn)坐標(biāo)為（）。則M點(diǎn)坐標(biāo)為（）故：1一半徑為r的圓盤以勻角深度ω在一半經(jīng)為R的固定圓形槽內(nèi)作無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，如圖所示，求圓盤邊上M點(diǎn)的深度υ和加速度α（用參量θ，Ψ表示）。解：依題知：且O點(diǎn)處：則：2已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：y=bt,,a和b都是非零常數(shù)。（1）寫處質(zhì)點(diǎn)軌道的極坐標(biāo)方程；（2）用極坐標(biāo)表示出質(zhì)

5、點(diǎn)的速度和加速度。解：得：3已知一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)向和橫向的速度分量分別是λr和μθ，這里μ和λ是常數(shù)。求出質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量.解：由題知：且：故：1質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，其速率保持為常量，證明質(zhì)點(diǎn)的速度矢量與加速度矢量正交。證明：設(shè)速度為。則：由于與為正交矢量。即得證。8一質(zhì)點(diǎn)沿心臟線以恒定速率v運(yùn)動(dòng)，求出質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度.解：設(shè)且有：解得：得：則：9已知質(zhì)點(diǎn)按運(yùn)動(dòng)，分別求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的切向和法向分量，經(jīng)向分量和橫向分量。解：（1）極坐標(biāo)系下：由得：且設(shè)：則：得：則：徑向與橫向的分量分別為，。10質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿一旋輪線運(yùn)動(dòng)，旋輪線方程為。證明質(zhì)點(diǎn)在方向做等加速運(yùn)動(dòng)

6、。解：依題意：得：則：11一質(zhì)點(diǎn)沿著拋物線運(yùn)動(dòng)，如圖所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此質(zhì)點(diǎn)從正焦弦的一端點(diǎn)以速率出發(fā)，求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)正焦弦的另一端點(diǎn)時(shí)的速率。解：建立自然坐標(biāo)系有：且：積分得：（代入）又因?yàn)椋涸邳c(diǎn)處斜率：在點(diǎn)處斜率：故：即：12豎直上拋一小球，設(shè)空氣阻力恒定。證明小球上升的時(shí)間比下落返回至原地點(diǎn)的時(shí)間短。解：設(shè)空氣阻力為，且小球初速為，質(zhì)量為沒(méi)，則有：上升時(shí)間：上升高度：下落時(shí)間：得：即得證。13質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)自離地面高度處下落。若空氣阻力與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比，比例常數(shù)為C，試討論此質(zhì)點(diǎn)下落過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)狀況。解：設(shè)加速度為，速率為，

7、則：得：積分并代入時(shí)有：知：質(zhì)點(diǎn)一直在做向下的變加速運(yùn)動(dòng)，且加速度越來(lái)越小。14將一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以初速度與水平線成角拋出，此質(zhì)點(diǎn)受到的空氣阻力是其速度的倍，這里是常數(shù)。試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度與水平線之間的夾角又為角度時(shí)所需時(shí)間。解：依牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有：積分并代入初始條件：時(shí)：解得：當(dāng)再次夾角為時(shí)：可解出：15一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)用一長(zhǎng)度為的不可伸長(zhǎng)的輕繩懸掛于一小環(huán)上，小環(huán)穿于一固定的水平鋼絲上，其質(zhì)量為。開始時(shí)，小環(huán)靜止質(zhì)點(diǎn)下垂，處于平衡態(tài)。今若沿鋼絲的水平方向給質(zhì)點(diǎn)以大小為的初速度，證明若輕繩與鉛垂線之間的夾角是時(shí)，小環(huán)在鋼絲上仍不滑動(dòng)，則鋼絲與小環(huán)間的摩擦系數(shù)至少是，

8、此時(shí)繩中的