理論力學(xué)(陳世民)答案

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1、第零章數(shù)學(xué)準(zhǔn)備一泰勒展開(kāi)式1二項(xiàng)式的展開(kāi)2一般函數(shù)的展開(kāi)特別:時(shí),3二元函數(shù)的展開(kāi)(x=y=0處)評(píng)注：以上方法多用于近似處理與平衡態(tài)處的非線性問(wèn)題向線性問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。在理論力問(wèn)題的簡(jiǎn)單處理中，一般只需近似到三階以內(nèi)。二常微分方程1一階非齊次常微分方程：通解：注：積分時(shí)不帶任意常數(shù)，可為常數(shù)。2一個(gè)特殊二階微分方程通解：注：為由初始條件決定的常量3二階非齊次常微分方程通解：；為對(duì)應(yīng)齊次方程的特解，為非齊次方程的一個(gè)特解。非齊次方程的一個(gè)特解（1）對(duì)應(yīng)齊次方程設(shè)得特征方程。解出特解為，。*若則，；*若則，；*若則，；（2）若為二次多項(xiàng)式*時(shí)，可設(shè)*時(shí)，可設(shè)注：以上,,A,B,C,D均為常數(shù)，由

2、初始條件決定。三矢量1矢量的標(biāo)積注：常用于一矢量在一方向上的投影2矢量的矢積四矩陣此處僅討論用矩陣判斷方程組解的分布情形。令*D=0時(shí)，方程組有非零解*D0時(shí)，方程只有零解第一章牛頓力學(xué)的基本定律【要點(diǎn)分析與總結(jié)】1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述（1）直線坐標(biāo)系（2）平面極坐標(biāo)系（3）自然坐標(biāo)系（4）柱坐標(biāo)系〈析〉上述矢量順序分別為：矢量微分：（其它各矢量微分與此方法相同）微分時(shí)一定要注意矢量順序2牛頓定律慣性定律的矢量表述（1）直角坐標(biāo)系中（2）極挫標(biāo)系中（3）自然坐標(biāo)系中3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本定理幾個(gè)量的定義：動(dòng)量角動(dòng)量沖量力矩沖量矩動(dòng)能（1）動(dòng)量定理方向上動(dòng)量守恒：（2）動(dòng)量矩定理（3）動(dòng)能定理4機(jī)戒能守

3、恒定理T+V=E〈析〉勢(shì)函數(shù)V:穩(wěn)定平衡下的勢(shì)函數(shù)：;此時(shí)勢(shì)能處極小處且能量滿足【解題演示】1.1解：依幾何關(guān)系知：又因?yàn)椋汗剩?.3解：設(shè)O點(diǎn)坐標(biāo)為（）。則M點(diǎn)坐標(biāo)為（）故：1.5解：得：1.8解：設(shè)且有：解得：得：則：1.14解：依牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有：積分并代入初始條件：時(shí)：解得：當(dāng)再次夾角為時(shí)：可解出：1.16解：（注：此題中）設(shè)最大伸長(zhǎng)為有：依能量守恒：解得：則：1.18解：依受力分析知+得：積分得:代入得：積分得：同理：積分得：式中。另解：先將AB及彈簧看成一系統(tǒng)，其質(zhì)心做一受恒力的作用，再將A與B理解成繞質(zhì)心做周期性振動(dòng)，可得A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與A振動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，B亦然。計(jì)算

4、亦很簡(jiǎn)單！1.19解：將脫離時(shí)滑過(guò)相應(yīng)角度為，此時(shí)滿足：可解得：1.21解：小環(huán)因重力對(duì)的壓力。而小環(huán)運(yùn)動(dòng)所需向心力必由對(duì)的彈力F與重力提供，滿足：（法向）又依能量守恒知：且依兩環(huán)的對(duì)稱性知，大環(huán)受合力向上，且大小為：當(dāng)大環(huán)升起須滿足：故得方程：故：當(dāng)滿足時(shí)，升起時(shí)角度滿足解出：則剛升起時(shí)：第二章有心運(yùn)動(dòng)和兩體問(wèn)題【要點(diǎn)分析與總結(jié)】1有心力和有心運(yùn)動(dòng)（1）有心運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征：平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)量守恒()機(jī)械能守恒()（2）運(yùn)動(dòng)微分方程可導(dǎo)出：〈析〉是一個(gè)恒量，解題時(shí)應(yīng)充分利用。恰當(dāng)運(yùn)用會(huì)使你絕處逢生，可謂是柳暗花明又一村的大門(mén)。2距離平方反比引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可由比內(nèi)公式導(dǎo)出：（為由初始條件決定

5、的常量）近日點(diǎn)：遠(yuǎn)日點(diǎn)：且可得半長(zhǎng)軸長(zhǎng)：〈析〉用來(lái)求，進(jìn)而得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即便是開(kāi)普勒三定律亦是須臾即得。2距離平方反比斥力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（粒子散射）的雙曲線模型（）可導(dǎo)出：散射角：盧瑟福散射公式：（式中散射截面：，立體角：將散射角公式兩側(cè)微分并代入即得散射公式）4質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的討論（1）圓軌道的穩(wěn)定條件（等效勢(shì)能：）再利用可導(dǎo)出：（2）軌道的軌跡曲線〈析〉通過(guò)與0的關(guān)系，即可判斷天體運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線【解題演示】2.4證明:依比內(nèi)方程得:積分得:式中:,A為積分常數(shù)2.5證明:即：2.8解：（1）依比內(nèi)公式有：得：積分得：即：由于時(shí),軌道在處開(kāi)口,是拋物線型,故。（2）得：又因?yàn)榈茫汗薯殱M足

6、：得：此時(shí):2.9解：（1）因?yàn)?故有:積分得：（1）由質(zhì)點(diǎn)和諧振動(dòng)系統(tǒng)組成的系統(tǒng)能量守恒,當(dāng)受到?jīng)_量I之后此時(shí)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)到極點(diǎn)處但有：整理得方程：可解出：得：（3）時(shí)：此時(shí):沖量的作用使速度在同方向變?yōu)?倍,由于此處，故此處為一極點(diǎn)：。到達(dá)另一極點(diǎn)處,恢復(fù)到切向，且得：時(shí)：同理,沖量作用使（后瞬間）,故此處為一極點(diǎn)到電達(dá)一極點(diǎn)時(shí),恢復(fù)切向,且：得：2.11．解：電子運(yùn)動(dòng)時(shí)的等效勢(shì)能穩(wěn)定條件：得：得：解出（注:無(wú)意義）2.13．解：依能量與動(dòng)量守恒可得：可解得：2.14．解:依題知,散射舅跡為雙曲線,從（8）題知：且。是取距離最近時(shí)力心與雙曲線焦點(diǎn)連線。又知：時(shí)即：得：又由于散射截面，且由上

7、式可得：則:得：即微分散射截面:第三章非慣性參考系【要點(diǎn)分析與總結(jié)】1相對(duì)運(yùn)動(dòng)〈析〉僅此三式便可以使“第心說(shuō)”與“日心說(shuō)”歸于一家。（1）平動(dòng)非慣性系()即：（2）旋轉(zhuǎn)非慣性系()2地球自轉(zhuǎn)的效應(yīng)（以地心為參考點(diǎn)）寫(xiě)成分量形式為：〈析〉坐標(biāo)系選取物質(zhì)在地面上一定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸指向南方，y軸指向東方，鉛直方向?yàn)閦軸方向。為旋轉(zhuǎn)非慣性系在條件下忽略與所得。正因如此，地球上的物體運(yùn)動(dòng)均受著地球自轉(zhuǎn)而帶來(lái)的科氏力的作用，也