理論力學(陳世民)答案.doc

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1、第零章數(shù)學準備一泰勒展開式1二項式的展開2一般函數(shù)的展開特別:時,3二元函數(shù)的展開(x=y=0處)評注：以上方法多用于近似處理與平衡態(tài)處的非線性問題向線性問題的轉(zhuǎn)化。在理論力問題的簡單處理中，一般只需近似到三階以內(nèi)。二常微分方程1一階非齊次常微分方程：通解：注：積分時不帶任意常數(shù)，可為常數(shù)。2一個特殊二階微分方程通解：注：為由初始條件決定的常量3二階非齊次常微分方程通解：；為對應齊次方程的特解，為非齊次方程的一個特解。非齊次方程的一個特解（1）對應齊次方程設得特征方程。解出特解為，。*若則，；*若則，；*若則，；（1）若為二次多項式*時，可設*時，可設注：以上,,A,B,C,D均為常數(shù)，由初

2、始條件決定。三矢量1矢量的標積注：常用于一矢量在一方向上的投影1矢量的矢積四矩陣此處僅討論用矩陣判斷方程組解的分布情形。令*D=0時，方程組有非零解*D0時，方程只有零解第一章牛頓力學的基本定律萬丈高樓從地起。整個力學大廈的地基將在此筑起，三百年的人類最高科學智慧結(jié)晶將飄來他的古樸與幽香。此時矢量言語將盡顯英雄本色，微積分更是風光占盡?！疽c分析與總結(jié)】1質(zhì)點運動的描述（1）直線坐標系（2）平面極坐標系（3）自然坐標系（4）柱坐標系〈析〉上述矢量順序分別為：矢量微分：（其它各矢量微分與此方法相同）微分時一定要注意矢量順序2牛頓定律慣性定律的矢量表述（1）直角坐標系中（1）極挫標系中（2）自然

3、坐標系中3質(zhì)點運動的基本定理幾個量的定義：動量角動量沖量力矩沖量矩動能（1）動量定理方向上動量守恒：（2）動量矩定理（3）動能定理4機戒能守恒定理T+V=E〈析〉勢函數(shù)V:穩(wěn)定平衡下的勢函數(shù)：;此時勢能處極小處且能量滿足【解題演示】1細桿OL繞固定點O以勻角速率轉(zhuǎn)動，并推動小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動，O點與鋼絲間的垂直距離為d，如圖所示。求小環(huán)的速度和加速度。解：依幾何關系知：又因為：故：2橢圓規(guī)尺AB的兩端點分別沿相互垂直的直線Oχ與Oy滑動，已知B端以勻速c運動，如圖所示。求橢圓規(guī)尺上M點的軌道方程、速度及加速度的大小υ與α。解：依題知：且：得：又因M點位置：故有：代入（*）式得：即：

4、1一半徑為r的圓盤以勻角速率沿一直線滾動，如圖所示。求圓盤邊上任意一點M的速度和加速度（以O、M點的連線與鉛直線間的夾角θ表示）；并證明加速度矢量總是沿圓盤半徑指向圓心。解：設O點坐標為（）。則M點坐標為（）故：1一半徑為r的圓盤以勻角深度ω在一半經(jīng)為R的固定圓形槽內(nèi)作無滑動地滾動，如圖所示，求圓盤邊上M點的深度υ和加速度α（用參量θ，Ψ表示）。解：依題知：且O點處：則：2已知某質(zhì)點的運動規(guī)律為：y=bt,,a和b都是非零常數(shù)。（1）寫處質(zhì)點軌道的極坐標方程；（2）用極坐標表示出質(zhì)點的速度和加速度。解：得：3已知一質(zhì)點運動時，經(jīng)向和橫向的速度分量分別是λr和μθ，這里μ和λ是常數(shù)。求出質(zhì)點的

5、加速度矢量.解：由題知：且：故：1質(zhì)點作平面運動，其速率保持為常量，證明質(zhì)點的速度矢量與加速度矢量正交。證明：設速度為。則：由于與為正交矢量。即得證。8一質(zhì)點沿心臟線以恒定速率v運動，求出質(zhì)點的速度和加速度.解：設且有：解得：得：則：9已知質(zhì)點按運動，分別求出質(zhì)點加速度矢量的切向和法向分量，經(jīng)向分量和橫向分量。解：（1）極坐標系下：由得：且設：則：得：則：徑向與橫向的分量分別為，。10質(zhì)點以恒定速率沿一旋輪線運動，旋輪線方程為。證明質(zhì)點在方向做等加速運動。解：依題意：得：則：11一質(zhì)點沿著拋物線運動，如圖所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此質(zhì)點從正焦弦的一端點以速率出發(fā)，求

6、質(zhì)點到達正焦弦的另一端點時的速率。解：建立自然坐標系有：且：積分得：（代入）又因為：在點處斜率：在點處斜率：故：即：12豎直上拋一小球，設空氣阻力恒定。證明小球上升的時間比下落返回至原地點的時間短。解：設空氣阻力為，且小球初速為，質(zhì)量為沒，則有：上升時間：上升高度：下落時間：得：即得證。13質(zhì)量為的質(zhì)點自離地面高度處下落。若空氣阻力與質(zhì)點速度的平方成正比，比例常數(shù)為C，試討論此質(zhì)點下落過程中的運動狀況。解：設加速度為，速率為，則：得：積分并代入時有：知：質(zhì)點一直在做向下的變加速運動，且加速度越來越小。14將一質(zhì)量為的質(zhì)點以初速度與水平線成角拋出，此質(zhì)點受到的空氣阻力是其速度的倍，這里是常數(shù)。

7、試求當質(zhì)點的速度與水平線之間的夾角又為角度時所需時間。解：依牛頓第二運動定律有：積分并代入初始條件：時：解得：當再次夾角為時：可解出：15一質(zhì)量為的質(zhì)點用一長度為的不可伸長的輕繩懸掛于一小環(huán)上，小環(huán)穿于一固定的水平鋼絲上，其質(zhì)量為。開始時，小環(huán)靜止質(zhì)點下垂，處于平衡態(tài)。今若沿鋼絲的水平方向給質(zhì)點以大小為的初速度，證明若輕繩與鉛垂線之間的夾角是時，小環(huán)在鋼絲上仍不滑動，則鋼絲與小環(huán)間的摩擦系數(shù)至少是，此時繩中的