理論力學(xué)(陳世民)答案打印稿

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1、第零章數(shù)學(xué)準(zhǔn)備一泰勒展開式1二項(xiàng)式的展開2一般函數(shù)的展開特別:時(shí),3二元函數(shù)的展開(x=y=0處)評(píng)注：以上方法多用于近似處理與平衡態(tài)處的非線性問題向線性問題的轉(zhuǎn)化。在理論力問題的簡單處理中，一般只需近似到三階以內(nèi)。二常微分方程1一階非齊次常微分方程：通解：注：積分時(shí)不帶任意常數(shù)，可為常數(shù)。2一個(gè)特殊二階微分方程通解：注：為由初始條件決定的常量3二階非齊次常微分方程通解：；為對(duì)應(yīng)齊次方程的特解，為非齊次方程的一個(gè)特解。非齊次方程的一個(gè)特解（1）對(duì)應(yīng)齊次方程設(shè)得特征方程。解出特解為，。*若則，；*若則，；*若則，；（2）若為二次多項(xiàng)式*時(shí)，可設(shè)*時(shí)，可設(shè)注：以上,

2、,A,B,C,D均為常數(shù)，由初始條件決定。三矢量1矢量的標(biāo)積注：常用于一矢量在一方向上的投影1矢量的矢積四矩陣此處僅討論用矩陣判斷方程組解的分布情形。令*D=0時(shí)，方程組有非零解*D0時(shí)，方程只有零解第一章牛頓力學(xué)的基本定律【解題演示】1細(xì)桿OL繞固定點(diǎn)O以勻角速率轉(zhuǎn)動(dòng)，并推動(dòng)小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動(dòng)，O點(diǎn)與鋼絲間的垂直距離為d，如圖所示。求小環(huán)的速度和加速度。解：依幾何關(guān)系知：又因?yàn)椋汗剩?一半徑為r的圓盤以勻角深度ω在一半經(jīng)為R的固定圓形槽內(nèi)作無滑動(dòng)地滾動(dòng)，如圖所示，求圓盤邊上M點(diǎn)的深度υ和加速度α（用參量θ，Ψ表示）。解：依題知：且O點(diǎn)處：則：12豎直

3、上拋一小球，設(shè)空氣阻力恒定。證明小球上升的時(shí)間比下落返回至原地點(diǎn)的時(shí)間短。解：設(shè)空氣阻力為，且小球初速為，質(zhì)量為沒，則有：上升時(shí)間：上升高度：下落時(shí)間：得：即得證。14將一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以初速度與水平線成角拋出，此質(zhì)點(diǎn)受到的空氣阻力是其速度的倍，這里是常數(shù)。試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度與水平線之間的夾角又為角度時(shí)所需時(shí)間。解：依牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有：積分并代入初始條件：時(shí)：解得：當(dāng)再次夾角為時(shí)：可解出：19一質(zhì)點(diǎn)從一光滑圓柱表面最高處，自靜止下滑，如圖所示。問質(zhì)點(diǎn)滑至何處將脫離圓柱表面？解：將脫離時(shí)滑過相應(yīng)角度為，此時(shí)滿足：可解得：第二章有心運(yùn)動(dòng)和兩體問題斗轉(zhuǎn)星移，粒子變遷，乃

4、至整個(gè)宇宙的各種運(yùn)動(dòng)均受著“上帝”的安排----力的大小與距離平方成反比定律。在此解析幾何的空間曲線將一展風(fēng)情?！疽c(diǎn)分析與總結(jié)】1有心力和有心運(yùn)動(dòng)（1）有心運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征：平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)量守恒()機(jī)械能守恒()（2）運(yùn)動(dòng)微分方程可導(dǎo)出：〈析〉是一個(gè)恒量，解題時(shí)應(yīng)充分利用。恰當(dāng)運(yùn)用會(huì)使你絕處逢生，可謂是柳暗花明又一村的大門。2距離平方反比引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可由比內(nèi)公式導(dǎo)出：（為由初始條件決定的常量）近日點(diǎn)：遠(yuǎn)日點(diǎn)：且可得半長軸長：〈析〉用來求，進(jìn)而得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即便是開普勒三定律亦是須臾即得。2距離平方反比斥力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（粒子散射）的雙曲線模型（）可導(dǎo)出：散

5、射角：盧瑟福散射公式：（式中散射截面：，立體角：將散射角公式兩側(cè)微分并代入即得散射公式）4質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的討論（1）圓軌道的穩(wěn)定條件（等效勢(shì)能：）再利用可導(dǎo)出：（）（2）軌道的軌跡曲線〈析〉通過與0的關(guān)系，即可判斷天體運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線【解題演示】1質(zhì)點(diǎn)在有心力的作用下運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)速度的大小為，這里是常數(shù)。已知時(shí)，速度與矢量間夾角為。求質(zhì)點(diǎn)的軌道方程。解:且又因?yàn)楣噬鲜睫D(zhuǎn)化成積分并代入初始條件得即：3月球的質(zhì)量和半徑分別是和，其中分別是地球的質(zhì)量和半徑。試求（1）月球表面處的重力加速度；（2）若在月球表面發(fā)射火箭，使之脫離月球，則火箭的發(fā)射速度至少是多少？解：（1）（2

6、）脫離月球初動(dòng)能：得：10一彗星在近日點(diǎn)處離太陽的距離是地球軌道半徑的一半（假設(shè)地球作圓軌道運(yùn)動(dòng)），在該處彗星的速率是地球軌道速率的二倍。試從守恒定理出發(fā)。（1）求出慧星軌道與地球軌道相交處慧星的速率（2）問此慧星的軌道是橢圓，拋物線還是又曲線？為什么？（3）它能脫離太陽系嗎？解：（1）設(shè)地球繞日軌道半徑為R,速率為,此慧星質(zhì)量為,速率為,有：得：（2）此慧星的能量即：其軌道是拋物線（3）在拋物線型軌道中：即能脫離太陽系。15．在光滑水平桌面上，兩個(gè)質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn)由一不可伸長的繩聯(lián)結(jié)，繩穿過固定在水平桌面上的光滑小環(huán)，如圖所示。若與小環(huán)相距時(shí)獲得垂直于繩的初速

7、度，試寫出質(zhì)點(diǎn)的軌道微分方程，并解出它的運(yùn)動(dòng)軌道方程。解:由于小環(huán)光滑,則:故比內(nèi)方程可寫為：得：即：又因?yàn)闀r(shí)，得：（注:此處）16．質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)A，軒于光滑的水平桌面上運(yùn)動(dòng)，如圖所示。此質(zhì)點(diǎn)系有一根輕繩，繩子穿過桌面O處的光滑小孔下垂，并掛有一同樣質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)B。若質(zhì)點(diǎn)A在桌面上離小孔距離為處，沿垂直于繩子方向以初速率射出，證明質(zhì)點(diǎn)在此后運(yùn)動(dòng)離O點(diǎn)距離必在d到3d之間。16解:設(shè)繩對(duì)的拉力為，距孔為，有可得代入：得：（注：）積分得：代入初始條件得：故:可解出，（無意義，舍）即得證。此題用拉氏方法更簡單。第三章非慣性參考系【解題演示】（1）一圓盤以勻角速度繞過圓心并

8、與圓盤面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一