經(jīng)典功率譜估計(jì)方法的研究與實(shí)現(xiàn)

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1、1隨機(jī)信號(hào)的經(jīng)典譜估計(jì)方法估計(jì)功率譜密度的平滑周期圖是一種計(jì)算簡(jiǎn)單的經(jīng)典方法。它的主要特點(diǎn)是與任何模型參數(shù)無關(guān)，是一類非參數(shù)化方法[4]。它的主要問題是：由于假定信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)在數(shù)據(jù)觀測(cè)區(qū)以外等于零，因此估計(jì)出來的功率譜很難與信號(hào)的真實(shí)功率譜相匹配。在一般情況下，周期圖的漸進(jìn)性能無法給出實(shí)際功率譜的一個(gè)滿意的近似，因而是一種低分辨率的譜估計(jì)方法。本章主要介紹了周期圖法、相關(guān)法譜估計(jì)（BT）、巴特利特(Bartlett)平均周期圖的方法和Welch法這四種方法。2.1　周期圖法周期圖法又稱直接法。它是從隨機(jī)信號(hào)x(n)中截取N長(zhǎng)的一段，把

2、它視為能量有限x(n)真實(shí)功率譜的估計(jì)的抽樣.周期圖這一概念早在1899年就提出了，但由于點(diǎn)數(shù)Ｎ一般比較大，該方法的計(jì)算量過大而在當(dāng)時(shí)無法使用。只是1965年FFT出現(xiàn)后，此法才變成譜估計(jì)的一個(gè)常用方法。周期圖法[5]包含了下列兩條假設(shè)：1．認(rèn)為隨機(jī)序列是廣義平穩(wěn)且各態(tài)遍歷的，可以用其一個(gè)樣本x(n)中的一段來估計(jì)該隨機(jī)序列的功率譜。這當(dāng)然必然帶來誤差。2．由于對(duì)采用DFT，就默認(rèn)在時(shí)域是周期的，以及在頻域是周期的。這種方法把隨機(jī)序列樣本x(n)看成是截得一段的周期延拓，這也就是周期圖法這個(gè)名字的來歷。與相關(guān)法相比，相關(guān)法在求相關(guān)函數(shù)時(shí)將

3、以外是數(shù)據(jù)全都看成零，因此相關(guān)法認(rèn)為除外x(n)是全零序列，這種處理方法顯然與周期圖法不一樣。但是，當(dāng)相關(guān)法被引入基于FFT的快速相關(guān)后，相關(guān)法和周期圖法開始融合。通過比較我們發(fā)現(xiàn)：如果相關(guān)法中M=N，不加延遲窗，那么就和補(bǔ)充（N-1）個(gè)零的周期圖法一樣了。簡(jiǎn)單地可以這樣說：周期圖法是M=N時(shí)相關(guān)法的特例。因此相關(guān)法和周期圖法可結(jié)合使用。2.2　相關(guān)法譜估計(jì)（BT）法21這種方法以相關(guān)函數(shù)為媒介來計(jì)算功率譜，所以又叫間接法。它是1958年由Blackman和Tukey提出。這種方法的具體步驟是：第一步：從無限長(zhǎng)隨機(jī)序列x(n)中截取長(zhǎng)度N

4、的有限長(zhǎng)序列列第二步：由N長(zhǎng)序列求（2M-1）點(diǎn)的自相關(guān)函數(shù)序列。即(2-1)這里，m=-(M-1)…,-1,0,1…,M-1，MN，是雙邊序列，但是由自相關(guān)函數(shù)的偶對(duì)稱性式，只要求出m=0,。。。,M-1的傅里葉變換，另一半也就知道了。第三步：由相關(guān)函數(shù)的傅式變換求功率譜。即(2-2)以上過程中經(jīng)歷了兩次截?cái)啵淮问菍(n)截成N長(zhǎng)，稱為加數(shù)據(jù)窗，一次是將x(n)截成（2M-1）長(zhǎng)，稱為加延遲窗。因此所得的功率譜僅是近似值，也叫譜估計(jì)，式中的代表估值。一般取M<

5、大到難以實(shí)現(xiàn)，而且譜估計(jì)質(zhì)量也較好。因此，在FFT問世之前，相關(guān)法是最常用的譜估計(jì)方法。當(dāng)FFT問世后，情況有所變化。因?yàn)榻財(cái)嗪蟮目梢曌髂芰啃盘?hào)，由相關(guān)卷積定理可得(2-3)這就將相關(guān)化為線性卷積，而線性卷積又可以用快速卷積來實(shí)現(xiàn)。我們可對(duì)上式兩邊?。?N-1）點(diǎn)DFT，則有(2-4)21于是將時(shí)域卷積變?yōu)轭l域乘積，用快速相關(guān)求的完整方案如下：1.對(duì)N長(zhǎng)的補(bǔ)充（N-1）個(gè)零，成為（2N-1）長(zhǎng)的。2.求（2N-1）點(diǎn)的FFT，得。3.求。由DFT性質(zhì)，是純實(shí)的，滿足共軛偶對(duì)稱，而一定是實(shí)偶的，且以（2N-1）為周期。4.求（2N-1）點(diǎn)的

6、IFFT：(2-5)這里是實(shí)偶的，m=-(N-1)...0...N-1。本來IFFT求和范圍是0至2N-2，由于的實(shí)偶性與周期性，求和范圍改為-（N-1）至（N-1）不影響計(jì)算結(jié)果。同理可將m的范圍改為-（N-1）至（N-1）。上述的快速相關(guān)中，補(bǔ)充零的目的是為了能用圓周卷積代替線性卷積，以便進(jìn)一步采用快速卷積算法?？焖傧嚓P(guān)輸出是-（N-1）至（N-1）的2N-1點(diǎn)，加窗后截取的是-（M-1）至（M-1）的頻段，最后作（2M-1）點(diǎn)FFT，得。我們注意到：如果數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與自相關(guān)序列點(diǎn)數(shù)相同即M=N，則（2N-1）點(diǎn)的IFFT后緊跟一個(gè)（2N

7、-1）點(diǎn)的FFT，利用的對(duì)稱性，F(xiàn)T運(yùn)算框的計(jì)算式變?yōu)?2-6)由于N=M并假設(shè)窗形狀是矩形的，第二次的截?cái)嗑筒恍枰恕１容^式（2-5）和式（2-6），,正反傅氏變換可以抵消，直接得21(2-7)為了實(shí)行基2FFT，也可將（2N-1）點(diǎn)換成2N點(diǎn)，這樣做不影響結(jié)果的正確性。2.3　巴特利特(Bartlett)平均周期圖法首先讓我們來看一下為什么周期圖經(jīng)過某種平均(或平滑)后會(huì)使它的方差當(dāng)時(shí)趨于零，達(dá)到一致估計(jì)的目的。如果是不相關(guān)的隨機(jī)變量，每一個(gè)具有期望值，方差，則可以證明它們的數(shù)學(xué)平均的期望值等于，數(shù)學(xué)平均的方差等于，即：所以(2-8)

8、由(2-8)可見，L個(gè)平均的方差比每個(gè)隨機(jī)變量的單獨(dú)方差小L倍。當(dāng)21，可達(dá)到一致譜估計(jì)的目的。因而降低估計(jì)量的方差的一種有效方法是將若干個(gè)獨(dú)立估計(jì)值進(jìn)行平均。把這種方法應(yīng)用于譜估計(jì)通常歸功于