概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式整理

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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式第1章隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱(chēng)這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件?；臼录?、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱(chēng)為基本事件，用來(lái)表示。基本事件的全體，稱(chēng)為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫(xiě)

2、字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。為必然事件，?為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。）事件的關(guān)系與運(yùn)算①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時(shí)有，，則稱(chēng)事件A與事件B等價(jià)，或稱(chēng)A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱(chēng)為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可

3、能同時(shí)發(fā)生，稱(chēng)事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱(chēng)為事件A的逆事件，或稱(chēng)A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：，概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°對(duì)于兩兩互不相容的事件，，…有常稱(chēng)為可列（完全）可加性。1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式則稱(chēng)P(A)為事件的概率。古典概型1°，2°。設(shè)任一事件，

4、它是由組成的，則有P(A)==幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱(chēng)此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A，。其中L為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積）。加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Ω時(shí)，P()=1-P(B)條件概率定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱(chēng)為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有

5、概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)）乘法公式乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，則有…………。獨(dú)立性①兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱(chēng)事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P

6、(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類(lèi)似。全概公式設(shè)事件滿足1°兩兩互不相容，，2°，則有。貝葉斯公式設(shè)事件，，…，及滿足1°，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，2°，，則，i=1，2，…n。此公式即為貝葉斯公式。，（，，…，），通常叫先驗(yàn)概率。，（，，…，），通常稱(chēng)為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。伯努利概型我們作了次試驗(yàn)，且滿足u每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱(chēng)為伯努

7、利概型，或稱(chēng)為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，，。第二章隨機(jī)變量及其分布1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式（1）離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,…，則稱(chēng)上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1），，（2）。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，則稱(chēng)為