數(shù)學(xué)期望及方差

《數(shù)學(xué)期望及方差》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、第三章隨機變量的數(shù)字特征學(xué)習(xí)目的與要求：本章主要討論隨機變量的數(shù)字特征，概率分布全面地描述隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性，而數(shù)字特征則描述這種統(tǒng)計規(guī)律性的某些重要特征。本章總的要求是：理解期望與方差的概念，掌握期望與方差的性質(zhì)與計算，會計算隨機變量函數(shù)的期望；掌握兩點分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的期望與方差；了解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，會求相關(guān)系數(shù)，知道矩與協(xié)方差陣的概念及求法。重點內(nèi)容是：期望、方差、協(xié)方差的計算，隨機變量函數(shù)的數(shù)字期望；難點內(nèi)容是：隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。3.1數(shù)學(xué)期望與方

2、差3.2協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、協(xié)方差矩陣3.3條件數(shù)學(xué)期望與回歸3.4特征函數(shù)及其性質(zhì)3.1數(shù)學(xué)期望與方差1.隨機變量的期望１）離散型隨機變量的期望設(shè)離散型隨機變量的分布律為，則的數(shù)學(xué)期望（簡稱均值或期望）為。２）連續(xù)型隨機變量的期望設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望（或稱期望或均值），記為，即。連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，又隨機變量，則。３）二維隨機變量函數(shù)的期望若為離散型隨機變量，若其分布律為，邊緣分布律為和則，若為二維連續(xù)型隨機變量，，，分別為的概率密度與邊緣概率密度

3、，則，。設(shè)為連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機變量的函數(shù)，若為離散型隨機變量，則；若為連續(xù)型隨機變量，則。2.期望的性質(zhì)　?。保┏?shù)的期望等于這個常數(shù)，即，其中為常數(shù)。２）常數(shù)與隨機變量乘積的期望等于該常數(shù)與隨機變量的期望的乘積，即３）隨機變量和的期望等于隨機變量期望的和，即，若，是相互獨立的隨機變量，則3.隨機變量的方差１）隨機變量的方差：設(shè)隨機變量的期望存在，則稱為隨機變量的方差，記作，即=，稱為的標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差）。２）離散型隨機變量的方差設(shè)為離散型隨機變量，其分布律為，則３）連續(xù)型隨機變量的方差設(shè)為連續(xù)型隨機變量，其概率密

4、度為，則４）方差計算的重要公式：4方差的性質(zhì)１）常數(shù)的方差等于零，隨機變量與常數(shù)之和的方差等于隨機變量的方差，即，。２）常數(shù)與隨機變量乘積的方差等于這個常數(shù)的平方與隨機變量方差的乘積，即，其中為常數(shù)。３）若，是相互獨立的隨機變量，則。5.幾種重要的隨機變量的數(shù)字特征匯總表離散型分布期望方差服從參數(shù)為的0-1分布服從二項分布服從泊松分布連續(xù)型均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布3.2協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、協(xié)方差矩陣1.協(xié)方差設(shè)有二維隨機變量，且存在，如果存在，則稱此值為與的協(xié)方差，記為，即。當(dāng)為二維離散型隨機變量時，其分布律為則。當(dāng)為二

5、維連續(xù)型隨機變量時，為的概率密度，則。協(xié)方差有下列計算公式：（重要公式），特別的取時，有2.協(xié)方差的性質(zhì)１）；２），其中為任意常數(shù)；３）；４）若，是相互獨立的隨機變量，則。3.相關(guān)系數(shù)若,稱為與的相關(guān)系數(shù)，記為，即。4.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)１）；２）的充分必要條件是存在常數(shù)使且。兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)是兩個隨機變量間線性聯(lián)系密切程度的度量，越接近1，與之間的線性關(guān)系越密切。當(dāng)時，與存在完全的線性關(guān)系，即；時，與之間無線性關(guān)系。若相關(guān)系數(shù)，則稱與不相關(guān)。很明顯，當(dāng)時，隨機變量與不相關(guān)的充分必要條件是。注意：若隨即變量與相互獨立

6、，則，因此與不相關(guān)，反之，隨機變量與不相關(guān)，但與不一定相互獨立。若二維隨機變量服從二維正態(tài)分布，與的相關(guān)系數(shù)，從而與不相關(guān)的充要條件是與相互獨立，因此與不相關(guān)和與相互獨立都等價于。3.3條件數(shù)學(xué)期望與回歸