數(shù)學(xué)期望與方差

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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)能完整的描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。但在許多實(shí)際問(wèn)題中，并不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況。如大致了解全班同學(xué)的身高情況，其實(shí)我們只要知道全班同學(xué)的平均身高、大家身高對(duì)平均身高的平均偏離程度就可以大致了解全班同學(xué)的身高情況。平均身高和平均偏離程度就是X的兩個(gè)數(shù)字特征，我們分別稱之為數(shù)學(xué)期望、方差。數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.在這些數(shù)字特征中，最常用的是第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)

2、學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、應(yīng)用實(shí)例一、數(shù)學(xué)期望的概念1.問(wèn)題的提出1654年,一個(gè)名叫德.梅爾的貴族就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰(shuí)先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(a

3、，很容易設(shè)想出以下兩種分法：(1)A得200*（1/2)元、B得200*（1/2)元;(2)A得200*（2/3)元、B得200*（1/3)元;第1種分法考慮到A、B兩人賭技相同，就平均分配，沒(méi)有照顧到A已經(jīng)比B多贏1局這一現(xiàn)實(shí)，顯然對(duì)A是不公平的。第2種分法不但照顧到“A、B兩人賭技相同”這一前提，還尊重了已經(jīng)進(jìn)行的三局比賽結(jié)果，當(dāng)然更公平一些。但是，第2種分法還是沒(méi)有考慮到如果繼續(xù)比賽下去的話會(huì)出現(xiàn)什么情形，即沒(méi)有照顧到兩人在現(xiàn)有基礎(chǔ)上對(duì)比賽結(jié)果的一種期待。A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過(guò)的三局(A勝2局、B勝1局)與上

4、述結(jié)果相結(jié)合,即A、B賭完五局:AAABBABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:AAABBABBA勝B負(fù)A勝B負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為而B(niǎo)能“期望”得到的數(shù)目,則為故有,在賭技相同的情況下,A、B最終獲勝的可能性大小之比為3:1.即A應(yīng)獲得賭金的而B(niǎo)只能獲得賭金的這種分法自然比前兩種方法都更為合理，使雙方都樂(lè)于接受。這就是“數(shù)學(xué)期望”這個(gè)名字的由來(lái)。因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機(jī)變量X為:在A勝2局B勝

5、1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:引例2加權(quán)平均成績(jī)?yōu)樵撋鏖T課程的算術(shù)平均成績(jī).設(shè)某學(xué)生四年大學(xué)各門功課成績(jī)分別為其學(xué)分分別為,則稱這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均顯然算術(shù)平均成績(jī)是加權(quán)平均成績(jī)的一種為該生的加權(quán)平均成績(jī).,可見(jiàn)加權(quán)平均才充分的體現(xiàn)了特例,即平均值的意義.這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均通過(guò)上述2個(gè)引例,我們可以給出如下定義2.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若級(jí)數(shù),則稱絕對(duì)收斂,即級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為E?X?,即定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量X?的分布律為X的分布律為E(X)=比如0-1分

6、布的期望為p注1oE?X?是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.注2o級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變,之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改變.設(shè)某教練員有甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員,現(xiàn)需要選拔其中的一名參加運(yùn)動(dòng)會(huì),根據(jù)過(guò)去的記錄顯示,二人的技術(shù)水平如下:乙射手甲射手試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好?例1選拔運(yùn)動(dòng)員解運(yùn)動(dòng)員的水平是通過(guò)其平均水平來(lái)衡量的,故甲射手的技術(shù)比較好.因而甲、乙兩射手的平均水平分別為甲射手

7、乙射手解則有例2(泊松分布)因而泊松分布P???的數(shù)學(xué)期望為?.設(shè)X?,且其分布律為設(shè)隨機(jī)變量X?P(?),求E?X?.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的引出設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0

8、連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義定義2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,f?x?,記為E?X?,即例3(均勻分布)解則有4.常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布,因而均勻分布數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).