斐波拉切數(shù)列奇妙屬性

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1、斐波拉切數(shù)列奇妙的屬性　斐波那契數(shù)列中的斐波那契數(shù)會經(jīng)常出現(xiàn)在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數(shù)、黃金矩形、黃金分割、等角螺線等，有時也可能是我們對斐波那契額數(shù)過于熱衷，把原來只是巧合的東西強行劃分為斐波那契數(shù)。比如鋼琴上白鍵的8，黑鍵上的5都是斐波那契數(shù)，應(yīng)該把它看做巧合還是規(guī)律呢？隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越來越逼近黃金分割的數(shù)值0.6180339887……從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1。（注：奇數(shù)項和偶數(shù)項是指項數(shù)的奇偶，而并不是指數(shù)列的數(shù)字本身的奇偶，比如第四項3是奇數(shù)，但它

2、是偶數(shù)項，第五項5是奇數(shù)，它是奇數(shù)項，如果認為數(shù)字3和5都是奇數(shù)項，那就誤解題意，怎么都說不通）如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什么64=65？其實就是利用了斐波那契數(shù)列的這個性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項，事實上前后兩塊的面積確實差1，只不過后面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。斐波那契數(shù)列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個數(shù)。斐波那契數(shù)列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性質(zhì)：1.f(0)+f(1)

3、+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1。2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)。3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)=f(2n+1)-1。4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)。5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1。6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)。利用這一點，可以用程序編出時間復雜度僅為O（logn）的程序。怎樣實現(xiàn)呢？偽代碼描述一下?7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(

4、n-1)·f(n+1)。8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)。10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m)[n〉m≥-1,且n≥1]11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.在楊輝三角中隱藏著斐波那契數(shù)列　　將楊輝三角依次下降，成如圖所示排列，將同一行的數(shù)加起來，即得一數(shù)列1、1、2、3、5、8、……公式表示如下：f(1)=C(0,0)=1。f(2)=C(1,0)=1。f(3)=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。f(4)=C(3,0)+C(

5、2,1)=1+2=3。f(5)=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。f(6)=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。F(7)=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13?！璅(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m)(m<=n-1-m)斐波那契數(shù)列的整除性與素數(shù)生成性　　每3個數(shù)有且只有一個被2整除，每4個數(shù)有且只有一個被3整除,每5個數(shù)有且只有一個被5整除，每6個數(shù)有且只有一個被8整除,每7個數(shù)有且只有一個被13整除，每8個數(shù)有且只有一個被21整除,每9個數(shù)有且只有一個被

6、34整除，.......我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是素數(shù)：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）斐波那契數(shù)列的素數(shù)無限多嗎？斐波那契數(shù)列的個位數(shù)：一個60步的循環(huán)　　11235,83145,94370,77415,61785.38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910…斐波那契數(shù)與植物花瓣　　3………………………百合和蝴蝶花5………………………藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花8………………………翠雀花13………………………金盞和玫瑰21………………………紫宛34、55、89……………雛菊斐波那

7、契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點數(shù)葉子（假定沒有折損），直到到達與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。