斐波那契與斐波那契數(shù)列

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1、斐波那契與斐波那契數(shù)列（初一、初二、初三）（519015）廣東省珠海市第四中學(xué)　陳湘平斐波那契（LeonardoFibonacci，約1170-約1250），12、13世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)界的代表人物，生于比薩的列奧納多家族，是一位意大利海關(guān)設(shè)在南部非洲布吉亞的官員的兒子。早年在北非受教育，由于他父親的工作，成年后曾到埃及、敘利亞、希臘西西里、法國等地游學(xué)，并拜訪過各地著名的學(xué)者，也熟悉了各國在商業(yè)上的所用的算術(shù)體系，掌握了印度－阿拉伯的十進(jìn)制系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有位置值并使用了零的符號。斐波那契看到了這種美麗的印度－阿拉伯?dāng)?shù)字的價(jià)值，并積極提倡使用它們。120

2、2年他寫了《算盤書》一書（注：“算盤”指的是當(dāng)時(shí)歐洲人用來計(jì)算的沙盤，而非中國的算盤），這是一本廣博的工具書，其中說明了怎樣應(yīng)用印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，以及如何用它們進(jìn)行加、減、乘、除計(jì)算和解題。此外還對代數(shù)和幾何進(jìn)行了進(jìn)一步的探討。此外他還出版了《幾何實(shí)習(xí)》等書，書中首次引用了阿拉伯?dāng)?shù)字，這對當(dāng)時(shí)盛行的羅馬數(shù)字來講也是一種挑戰(zhàn)。后來人們通過對阿拉伯?dāng)?shù)字的不斷接觸，加上斐波那契和其他數(shù)學(xué)家的工作，終于使印度－阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)被慢慢地接受，并得以推廣。很有意思的是，斐波那契在今天的出名，是緣于一個(gè)數(shù)列，而這個(gè)數(shù)列則來自于他的《算盤書》中一道并不出名的問題。他

3、當(dāng)時(shí)寫這道題只是考慮作為一個(gè)智力練習(xí)。然而，到了19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家E.盧卡斯出版了一部四卷本的有關(guān)娛樂數(shù)學(xué)方面的著作時(shí)，才把斐波那契的名字，加到該問題的解答和所出現(xiàn)的數(shù)列上去。《算盤書》中“兔子問題”，題目假定一對大兔子（一雌一雄）每一個(gè)月可以生一對小兔子（一雌一雄），而小兔子出生后兩個(gè)月就有生育能力，問從一對小兔子開始，一年后能繁殖成多少對兔子？”由此引出了一個(gè)重要的數(shù)列――“斐波那契數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其規(guī)律是每一項(xiàng)（從第3項(xiàng)起）都是前兩項(xiàng)的和。斐波那契用順推的辦法解算如下：第一個(gè)月：只有一對小兔。第二個(gè)月：小兔尚

4、未成熟，仍然是一對兔子。第三個(gè)月：這對兔子生了一對小兔，這時(shí)共有兔子兩對。第四個(gè)月:原來的兔子又生了一對小兔，但上月出生的小兔仍未成熟，這樣小兔共有三對?！绱朔治鱿氯?，可以得到一年后的兔子數(shù)為144對。上面順推的辦法著實(shí)有點(diǎn)笨，下面我們換一種思路推推看，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：從第三個(gè)月起兔子可以分為兩類：一類是上個(gè)月的兔子，一類是當(dāng)月新生的兔子，而這些兔子的對數(shù)恰好等于前兩個(gè)月時(shí)的兔子對數(shù)，因?yàn)槟莻€(gè)月份的的兔子在該月均能生小兔，這就是說：從第三個(gè)月起每月兔子數(shù)均為前兩個(gè)月（上月和上上月）的兔子對數(shù)之和。這樣一、二、三……諸月兔子數(shù)依次為：1，1，2

5、（=1+1），3（=1+2），5（=2+3），8（=3+5），13（=5+8），21（=8+13），……如此一來，我們不僅能算得一年后的兔子數(shù)，還可以算出若干年后的兔子數(shù)。斐波那契數(shù)列1,1，2,3，5，……有許多有趣的性質(zhì)（詳見：《斐波那契數(shù)列》，吳振奎編著，遼寧教育出版社，1987）比如：（1）從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它前面兩項(xiàng)的和：13＝5＋8,34＝13＋21，……（2）數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的比越來越接近0.618……＝0.5，＝0.67，＝0.6，＝0.625，＝0.615，……（3）數(shù)列的通項(xiàng)公式為　　　f=這里是用無理數(shù)表示有理數(shù)的典例(意外

6、的結(jié)果！)。斐波那契數(shù)列在許多方面有著廣泛的應(yīng)用，這數(shù)列不僅與后來的“優(yōu)選法”有密切關(guān)系，而且還應(yīng)用在生物、物理、化學(xué)上。為了研究這種數(shù)列的性質(zhì)，1960年起美國還出版了專門研究它的雜志《斐波那契季刊》。比如它在金融分析中就有重要應(yīng)用。1934年美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家艾略特在通過大量資料分析研究發(fā)現(xiàn)股票指數(shù)增減的微妙規(guī)律，并提出了頗有影響的“波浪理論”。該理論認(rèn)為：股指波動的一個(gè)完整過程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的5（或8）個(gè)波組成，其中3上2下（或5上3下）。（注意這里的2、3、5、8都是斐波那契數(shù)列中的項(xiàng)?。┩瑫r(shí)，每次股指的增長幅度都應(yīng)循斐波

7、那契數(shù)列中數(shù)字規(guī)律完成。比如：如果某日股指上升8點(diǎn)，則股指下一次攀升點(diǎn)數(shù)為13；若股指回調(diào)，其幅度應(yīng)該在5點(diǎn)左右（注意這里的5、8、13是斐波那契數(shù)列中相鄰三項(xiàng)！）。更有趣的是自然界也存在許多與斐波那契數(shù)列有關(guān)的現(xiàn)象。在20世紀(jì)80年代以前人們普遍認(rèn)為固態(tài)物質(zhì)僅存在于兩種形態(tài)：晶體和玻璃體結(jié)構(gòu)形式。玻璃內(nèi)的粒子間排布是雜亂無序的，而晶體粒子間是以格架形式規(guī)則地排布著，而自然界不存在介于二者之間的形式的物質(zhì)。直到1984年美國科學(xué)家Shechman借助電子顯微鏡發(fā)現(xiàn)了介于晶體與玻璃體之間的物質(zhì)——準(zhǔn)晶體，這才打破了上面的觀點(diǎn)，他發(fā)現(xiàn)了這種準(zhǔn)晶體粒子的

8、排布與斐波那契數(shù)列有著密切的聯(lián)系。人們還發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列出現(xiàn)在為數(shù)眾多的領(lǐng)域——包括松果、菠蘿，葉子的排列、某些花瓣數(shù)，與