斐波那契與斐波那契數(shù)列

斐波那契與斐波那契數(shù)列

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1、斐波那契與斐波那契數(shù)列(初一、初二、初三)(519015)廣東省珠海市第四中學(xué) 陳湘平斐波那契(LeonardoFibonacci,約1170-約1250),12、13世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)界的代表人物,生于比薩的列奧納多家族,是一位意大利海關(guān)設(shè)在南部非洲布吉亞的官員的兒子。早年在北非受教育,由于他父親的工作,成年后曾到埃及、敘利亞、希臘西西里、法國(guó)等地游學(xué),并拜訪過(guò)各地著名的學(xué)者,也熟悉了各國(guó)在商業(yè)上的所用的算術(shù)體系,掌握了印度-阿拉伯的十進(jìn)制系統(tǒng),該系統(tǒng)具有位置值并使用了零的符號(hào)。斐波那契看到了這種美麗的印度-阿拉伯?dāng)?shù)字的價(jià)值,并積極提倡使用它們。1202年他寫了《算盤書》一書(注:“算盤”指的是

2、當(dāng)時(shí)歐洲人用來(lái)計(jì)算的沙盤,而非中國(guó)的算盤),這是一本廣博的工具書,其中說(shuō)明了怎樣應(yīng)用印度-阿拉伯?dāng)?shù)字,以及如何用它們進(jìn)行加、減、乘、除計(jì)算和解題。此外還對(duì)代數(shù)和幾何進(jìn)行了進(jìn)一步的探討。此外他還出版了《幾何實(shí)習(xí)》等書,書中首次引用了阿拉伯?dāng)?shù)字,這對(duì)當(dāng)時(shí)盛行的羅馬數(shù)字來(lái)講也是一種挑戰(zhàn)。后來(lái)人們通過(guò)對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)字的不斷接觸,加上斐波那契和其他數(shù)學(xué)家的工作,終于使印度-阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)被慢慢地接受,并得以推廣。很有意思的是,斐波那契在今天的出名,是緣于一個(gè)數(shù)列,而這個(gè)數(shù)列則來(lái)自于他的《算盤書》中一道并不出名的問(wèn)題。他當(dāng)時(shí)寫這道題只是考慮作為一個(gè)智力練習(xí)。然而,到了19世紀(jì),法國(guó)數(shù)學(xué)家E.盧卡斯出版了一部

3、四卷本的有關(guān)娛樂(lè)數(shù)學(xué)方面的著作時(shí),才把斐波那契的名字,加到該問(wèn)題的解答和所出現(xiàn)的數(shù)列上去?!端惚P書》中“兔子問(wèn)題”,題目假定一對(duì)大兔子(一雌一雄)每一個(gè)月可以生一對(duì)小兔子(一雌一雄),而小兔子出生后兩個(gè)月就有生育能力,問(wèn)從一對(duì)小兔子開(kāi)始,一年后能繁殖成多少對(duì)兔子?”由此引出了一個(gè)重要的數(shù)列――“斐波那契數(shù)列”:1,1,2,3,5,8,13,21,…,其規(guī)律是每一項(xiàng)(從第3項(xiàng)起)都是前兩項(xiàng)的和。斐波那契用順推的辦法解算如下:第一個(gè)月:只有一對(duì)小兔。第二個(gè)月:小兔尚未成熟,仍然是一對(duì)兔子。第三個(gè)月:這對(duì)兔子生了一對(duì)小兔,這時(shí)共有兔子兩對(duì)。第四個(gè)月:原來(lái)的兔子又生了一對(duì)小兔,但上月出生的小兔仍未成

4、熟,這樣小兔共有三對(duì)?!绱朔治鱿氯?,可以得到一年后的兔子數(shù)為144對(duì)。上面順推的辦法著實(shí)有點(diǎn)笨,下面我們換一種思路推推看,我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn):從第三個(gè)月起兔子可以分為兩類:一類是上個(gè)月的兔子,一類是當(dāng)月新生的兔子,而這些兔子的對(duì)數(shù)恰好等于前兩個(gè)月時(shí)的兔子對(duì)數(shù),因?yàn)槟莻€(gè)月份的的兔子在該月均能生小兔,這就是說(shuō):從第三個(gè)月起每月兔子數(shù)均為前兩個(gè)月(上月和上上月)的兔子對(duì)數(shù)之和。這樣一、二、三……諸月兔子數(shù)依次為:1,1,2(=1+1),3(=1+2),5(=2+3),8(=3+5),13(=5+8),21(=8+13),……如此一來(lái),我們不僅能算得一年后的兔子數(shù),還可以算出若干年后的兔子數(shù)。斐波

5、那契數(shù)列1,1,2,3,5,……有許多有趣的性質(zhì)(詳見(jiàn):《斐波那契數(shù)列》,吳振奎編著,遼寧教育出版社,1987)比如:(1)從第三項(xiàng)開(kāi)始,每一項(xiàng)都是它前面兩項(xiàng)的和:13=5+8,34=13+21,……(2)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的比越來(lái)越接近0.618……=0.5,=0.67,=0.6,=0.625,=0.615,……(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式為   f=這里是用無(wú)理數(shù)表示有理數(shù)的典例(意外的結(jié)果!)。斐波那契數(shù)列在許多方面有著廣泛的應(yīng)用,這數(shù)列不僅與后來(lái)的“優(yōu)選法”有密切關(guān)系,而且還應(yīng)用在生物、物理、化學(xué)上。為了研究這種數(shù)列的性質(zhì),1960年起美國(guó)還出版了專門研究它的雜志《斐波那契季刊》。比如它在金融分析

6、中就有重要應(yīng)用。1934年美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家艾略特在通過(guò)大量資料分析研究發(fā)現(xiàn)股票指數(shù)增減的微妙規(guī)律,并提出了頗有影響的“波浪理論”。該理論認(rèn)為:股指波動(dòng)的一個(gè)完整過(guò)程(周期)是由波形圖(股指變化的圖象)上的5(或8)個(gè)波組成,其中3上2下(或5上3下)。(注意這里的2、3、5、8都是斐波那契數(shù)列中的項(xiàng)?。┩瑫r(shí),每次股指的增長(zhǎng)幅度都應(yīng)循斐波那契數(shù)列中數(shù)字規(guī)律完成。比如:如果某日股指上升8點(diǎn),則股指下一次攀升點(diǎn)數(shù)為13;若股指回調(diào),其幅度應(yīng)該在5點(diǎn)左右(注意這里的5、8、13是斐波那契數(shù)列中相鄰三項(xiàng)?。8腥さ氖亲匀唤缫泊嬖谠S多與斐波那契數(shù)列有關(guān)的現(xiàn)象。在20世紀(jì)80年代以前人們普遍認(rèn)為固態(tài)物質(zhì)僅存

7、在于兩種形態(tài):晶體和玻璃體結(jié)構(gòu)形式。玻璃內(nèi)的粒子間排布是雜亂無(wú)序的,而晶體粒子間是以格架形式規(guī)則地排布著,而自然界不存在介于二者之間的形式的物質(zhì)。直到1984年美國(guó)科學(xué)家Shechman借助電子顯微鏡發(fā)現(xiàn)了介于晶體與玻璃體之間的物質(zhì)——準(zhǔn)晶體,這才打破了上面的觀點(diǎn),他發(fā)現(xiàn)了這種準(zhǔn)晶體粒子的排布與斐波那契數(shù)列有著密切的聯(lián)系。人們還發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列出現(xiàn)在為數(shù)眾多的領(lǐng)域——包括松果、菠蘿,葉子的排列、某些花瓣數(shù),與

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