利用數(shù)形結(jié)合思想探究與圓有關(guān)的最值問題

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1、利用數(shù)形結(jié)合思想探究與圓有關(guān)的最值問題莊曉燕2018.9.12一、問題的提出在運動變化中，動點到直線、圓的距離會發(fā)生變化，在變化過程中，就會出現(xiàn)一些最值問題，如距離最小，最大等常常涉及圓上一點到直線的距離最值問題、切線長最值問題、圓上動點與其他曲線兩動點間的距離最值問題、過定點的圓的弦長最值問題等.這些問題常常利用平面幾何知識或圓的參數(shù)方程或設(shè)圓上點的坐標，直接求出最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)求最值的方法求解,與圓有關(guān)的長度最值問題有以下題型：二、問題的探源這些與圓有關(guān)的最值問題常常利用平面幾何知識或圓的參數(shù)方程或設(shè)圓上點的坐標，直接求出最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值

2、問題，利用函數(shù)求最值的方法求解三、問題的佐證1.已知含參數(shù)直線與圓位置關(guān)系，求直線方程中參數(shù)取值范圍問題畫出圓圖像，利用直線過定點，結(jié)合圖像即可確定直線方程中滿足的條件，利用直線與圓的位置關(guān)系和點到直線的距離公式，列出關(guān)于參數(shù)的不等式或方程，即可求出參數(shù)的范圍.例1若直線與曲線恰有三個公共點，則實數(shù)的取值范圍是.思路分析：直線與曲線恰有三個公共點，實數(shù)的取值范圍，可以轉(zhuǎn)化為直線的圖象與曲線的圖象有三個交點時實數(shù)的取值范圍，作出兩個函數(shù)的圖象，通過圖象觀察臨界直線，從而求出的取值范圍；本題曲線的圖象是易錯點，畫圖時要分類討論，知圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分組成．

3、7解析：由題意知，曲線的圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分組成，故直線與曲線恰有三個公共點的臨界直線有：當直線過點時，即，故；當直線與橢圓的上部分相切，即，即，時，此時，故實數(shù)的取值范圍是.點評：本題主要考查的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題2.已知點滿足與圓有關(guān)的某個條件，求圓中參數(shù)或點的坐標的取值范圍問題作出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想找出圓中相關(guān)量，如圓心坐標、圓心到某點距離、圓的半徑、圓的弦長或圓的弦心距等滿足的條件，列出不等式或方程或函數(shù)關(guān)系，再利用相關(guān)方法求出參數(shù)的范圍.例2設(shè)點，若在圓上存在點，使得，則的取值范圍是.思路分析：作出圖像，由圖知，圓

4、心O到直線ON的距離小于等于1，從而得出，列出關(guān)于的不等式，即可解出的范圍.解析：依題意，直線與圓有公共點即可，即圓心到直線的距離小于等于即可，過作，垂足為，在中，因為，故，所以，則，解得.點評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想，解決本問題的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合找出點M滿足的條件.3.與距離有關(guān)的最值問題在運動變化中，動點到直線、圓的距離會發(fā)生變化，在變化過7程中，就會出現(xiàn)一些最值問題，如距離最小，最大等常常涉及圓上一點到直線的距離最值問題、切線長最值問題、圓上動點與其他曲線兩動點間的距離最值問題、過定點的圓的弦長最值問題等.這些問題常常利用平面幾何知識或

5、圓的參數(shù)方程或設(shè)圓上點的坐標，直接求出最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)求最值的方法求解,與圓有關(guān)的長度最值問題有以下題型：①圓外一點到圓上距離最近為，最遠為；②過圓內(nèi)一點的弦最長為圓的直徑，最短為該點為中點的弦；③直線與圓相離，則圓上點到直線的最短距離為圓心到直線的距離，最近為；④過兩定點的所有圓中，面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓的面積.⑤圓上動點與其他曲線兩動點間的距離最值問題常轉(zhuǎn)化為圓心與曲線上的動點距離問題，利用兩點間距離公式轉(zhuǎn)化二元函數(shù)的最值問題，利用消元法轉(zhuǎn)化一元函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題求解.例3在平面直角坐標系中，設(shè)點為圓：上的任意一點，點，

6、其中，則線段長度的最小值為.思路分析：由首先要看出是直線上的點，要求長度的最小值實質(zhì)上是求圓上的點到直線的距離的最小值為，則，長度的最小值為．解析：顯然是直線上的點，圓心，半徑為，圓心到直線的距離為，所以長度的最小值為.點評：本題表面上考查兩點間距離，實質(zhì)上由圓的幾何性質(zhì)知，與圓上的點有關(guān)的距離的最值問題都要與圓心聯(lián)系起來，直線與圓相離時，圓心到直線的距離為，圓半徑為，則圓上的點到直線的距離的最大值為7，最小值為．另外動點問題，要注意的是動點必在某條曲線上，找到這條曲線后可借助曲線的性質(zhì)分析、解決問題．4.與面積相關(guān)的最值問題與圓的面積的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半

7、徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有時可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.例4動圓C經(jīng)過點，并且與直線相切，若動圓C與直線總有公共點，則圓C的面積.思路分析：設(shè)出動圓圓心坐標與半徑，根據(jù)條件找出半徑與圓心滿足的關(guān)系式，利用動圓C與直線總有公共點，列出某個量的不等式，求出其取值范圍，從而求出圓的半徑的取值范圍,作出正確選擇【解析】設(shè)圓心為，半徑為，，即，即，∴圓心為，，圓心到直線的距離為，∴或，當時，，∴.點評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、轉(zhuǎn)化與化歸思想及運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想是解題的