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1、利用數形結合思想探究與圓有關的最值問題莊曉燕2018.9.12一、問題的提出在運動變化中,動點到直線、圓的距離會發(fā)生變化,在變化過程中,就會出現一些最值問題,如距離最小,最大等常常涉及圓上一點到直線的距離最值問題、切線長最值問題、圓上動點與其他曲線兩動點間的距離最值問題、過定點的圓的弦長最值問題等.這些問題常常利用平面幾何知識或圓的參數方程或設圓上點的坐標,直接求出最值或轉化為函數的最值問題,利用函數求最值的方法求解,與圓有關的長度最值問題有以下題型:二、問題的探源這些與圓有關的最值問題常常利用平面幾何知識或圓的參數方程或設圓上點的坐標,直接求出最值或
2、轉化為函數的最值問題,利用函數求最值的方法求解三、問題的佐證1.已知含參數直線與圓位置關系,求直線方程中參數取值范圍問題畫出圓圖像,利用直線過定點,結合圖像即可確定直線方程中滿足的條件,利用直線與圓的位置關系和點到直線的距離公式,列出關于參數的不等式或方程,即可求出參數的范圍.例1若直線與曲線恰有三個公共點,則實數的取值范圍是.思路分析:直線與曲線恰有三個公共點,實數的取值范圍,可以轉化為直線的圖象與曲線的圖象有三個交點時實數的取值范圍,作出兩個函數的圖象,通過圖象觀察臨界直線,從而求出的取值范圍;本題曲線的圖象是易錯點,畫圖時要分類討論,知圖象由橢圓
3、的上一部分與雙曲線的上部分組成.7解析:由題意知,曲線的圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分組成,故直線與曲線恰有三個公共點的臨界直線有:當直線過點時,即,故;當直線與橢圓的上部分相切,即,即,時,此時,故實數的取值范圍是.點評:本題主要考查的是直線與圓錐曲線的位置關系,屬于中檔題2.已知點滿足與圓有關的某個條件,求圓中參數或點的坐標的取值范圍問題作出相應的圖形,利用數形結合思想找出圓中相關量,如圓心坐標、圓心到某點距離、圓的半徑、圓的弦長或圓的弦心距等滿足的條件,列出不等式或方程或函數關系,再利用相關方法求出參數的范圍.例2設點,若在圓上存在點,使得
4、,則的取值范圍是.思路分析:作出圖像,由圖知,圓心O到直線ON的距離小于等于1,從而得出,列出關于的不等式,即可解出的范圍.解析:依題意,直線與圓有公共點即可,即圓心到直線的距離小于等于即可,過作,垂足為,在中,因為,故,所以,則,解得.點評:本題主要考查了直線與圓的位置關系及數形結合思想,解決本問題的關鍵是通過數形結合找出點M滿足的條件.3.與距離有關的最值問題在運動變化中,動點到直線、圓的距離會發(fā)生變化,在變化過7程中,就會出現一些最值問題,如距離最小,最大等常常涉及圓上一點到直線的距離最值問題、切線長最值問題、圓上動點與其他曲線兩動點間的距離最值
5、問題、過定點的圓的弦長最值問題等.這些問題常常利用平面幾何知識或圓的參數方程或設圓上點的坐標,直接求出最值或轉化為函數的最值問題,利用函數求最值的方法求解,與圓有關的長度最值問題有以下題型:①圓外一點到圓上距離最近為,最遠為;②過圓內一點的弦最長為圓的直徑,最短為該點為中點的弦;③直線與圓相離,則圓上點到直線的最短距離為圓心到直線的距離,最近為;④過兩定點的所有圓中,面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓的面積.⑤圓上動點與其他曲線兩動點間的距離最值問題常轉化為圓心與曲線上的動點距離問題,利用兩點間距離公式轉化二元函數的最值問題,利用消元法轉化一元函數
6、在某個區(qū)間上的最值問題求解.例3在平面直角坐標系中,設點為圓:上的任意一點,點,其中,則線段長度的最小值為.思路分析:由首先要看出是直線上的點,要求長度的最小值實質上是求圓上的點到直線的距離的最小值為,則,長度的最小值為.解析:顯然是直線上的點,圓心,半徑為,圓心到直線的距離為,所以長度的最小值為.點評:本題表面上考查兩點間距離,實質上由圓的幾何性質知,與圓上的點有關的距離的最值問題都要與圓心聯系起來,直線與圓相離時,圓心到直線的距離為,圓半徑為,則圓上的點到直線的距離的最大值為7,最小值為.另外動點問題,要注意的是動點必在某條曲線上,找到這條曲線后可
7、借助曲線的性質分析、解決問題.4.與面積相關的最值問題與圓的面積的最值問題,一般轉化為尋求圓的半徑相關的函數關系或者幾何圖形的關系,借助函數求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有時可以通過轉化思想,利用數形結合思想求解.例4動圓C經過點,并且與直線相切,若動圓C與直線總有公共點,則圓C的面積.思路分析:設出動圓圓心坐標與半徑,根據條件找出半徑與圓心滿足的關系式,利用動圓C與直線總有公共點,列出某個量的不等式,求出其取值范圍,從而求出圓的半徑的取值范圍,作出正確選擇【解析】設圓心為,半徑為,,即,即,∴圓心為,,圓心到直線的距離為,∴或,當時,,
8、∴.點評:本題主要考查直線與圓的位置關系、轉化與化歸思想及運算求解能力,轉化與化歸思想是解題的