利用數(shù)形結(jié)合思想探究與圓有關(guān)的最值問題

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1、利用數(shù)形結(jié)合思想探究與圓有關(guān)的最值問題莊曉燕2018.9.12一、問題的提出在運(yùn)動(dòng)變化中,動(dòng)點(diǎn)到直線、圓的距離會(huì)發(fā)生變化,在變化過程中,就會(huì)出現(xiàn)一些最值問題,如距離最小,最大等常常涉及圓上一點(diǎn)到直線的距離最值問題、切線長最值問題、圓上動(dòng)點(diǎn)與其他曲線兩動(dòng)點(diǎn)間的距離最值問題、過定點(diǎn)的圓的弦長最值問題等.這些問題常常利用平面幾何知識(shí)或圓的參數(shù)方程或設(shè)圓上點(diǎn)的坐標(biāo),直接求出最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,利用函數(shù)求最值的方法求解,與圓有關(guān)的長度最值問題有以下題型:二、問題的探源這些與圓有關(guān)的最值問題常常利用平面幾何知識(shí)或圓的參數(shù)方程或設(shè)圓上點(diǎn)的

2、坐標(biāo),直接求出最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,利用函數(shù)求最值的方法求解三、問題的佐證1.已知含參數(shù)直線與圓位置關(guān)系,求直線方程中參數(shù)取值范圍問題畫出圓圖像,利用直線過定點(diǎn),結(jié)合圖像即可確定直線方程中滿足的條件,利用直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式,列出關(guān)于參數(shù)的不等式或方程,即可求出參數(shù)的范圍.例1若直線與曲線恰有三個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.思路分析:直線與曲線恰有三個(gè)公共點(diǎn),實(shí)數(shù)的取值范圍,可以轉(zhuǎn)化為直線的圖象與曲線的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍,作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,通過圖象觀察臨界直線,從而求出的取值范圍;本題曲線的圖象

3、是易錯(cuò)點(diǎn),畫圖時(shí)要分類討論,知圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分組成.7解析:由題意知,曲線的圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分組成,故直線與曲線恰有三個(gè)公共點(diǎn)的臨界直線有:當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),即,故;當(dāng)直線與橢圓的上部分相切,即,即,時(shí),此時(shí),故實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)評(píng):本題主要考查的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,屬于中檔題2.已知點(diǎn)滿足與圓有關(guān)的某個(gè)條件,求圓中參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍問題作出相應(yīng)的圖形,利用數(shù)形結(jié)合思想找出圓中相關(guān)量,如圓心坐標(biāo)、圓心到某點(diǎn)距離、圓的半徑、圓的弦長或圓的弦心距等滿足的條件,列出不等式或方程或函數(shù)關(guān)系,

4、再利用相關(guān)方法求出參數(shù)的范圍.例2設(shè)點(diǎn),若在圓上存在點(diǎn),使得,則的取值范圍是.思路分析:作出圖像,由圖知,圓心O到直線ON的距離小于等于1,從而得出,列出關(guān)于的不等式,即可解出的范圍.解析:依題意,直線與圓有公共點(diǎn)即可,即圓心到直線的距離小于等于即可,過作,垂足為,在中,因?yàn)椋?,所以,則,解得.點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想,解決本問題的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合找出點(diǎn)M滿足的條件.3.與距離有關(guān)的最值問題在運(yùn)動(dòng)變化中,動(dòng)點(diǎn)到直線、圓的距離會(huì)發(fā)生變化,在變化過7程中,就會(huì)出現(xiàn)一些最值問題,如距離最小,最大等常常涉及圓

5、上一點(diǎn)到直線的距離最值問題、切線長最值問題、圓上動(dòng)點(diǎn)與其他曲線兩動(dòng)點(diǎn)間的距離最值問題、過定點(diǎn)的圓的弦長最值問題等.這些問題常常利用平面幾何知識(shí)或圓的參數(shù)方程或設(shè)圓上點(diǎn)的坐標(biāo),直接求出最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,利用函數(shù)求最值的方法求解,與圓有關(guān)的長度最值問題有以下題型:①圓外一點(diǎn)到圓上距離最近為,最遠(yuǎn)為;②過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長為圓的直徑,最短為該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦;③直線與圓相離,則圓上點(diǎn)到直線的最短距離為圓心到直線的距離,最近為;④過兩定點(diǎn)的所有圓中,面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的面積.⑤圓上動(dòng)點(diǎn)與其他曲線兩動(dòng)點(diǎn)間的距離最值問題

6、常轉(zhuǎn)化為圓心與曲線上的動(dòng)點(diǎn)距離問題,利用兩點(diǎn)間距離公式轉(zhuǎn)化二元函數(shù)的最值問題,利用消元法轉(zhuǎn)化一元函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值問題求解.例3在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)為圓:上的任意一點(diǎn),點(diǎn),其中,則線段長度的最小值為.思路分析:由首先要看出是直線上的點(diǎn),要求長度的最小值實(shí)質(zhì)上是求圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為,則,長度的最小值為.解析:顯然是直線上的點(diǎn),圓心,半徑為,圓心到直線的距離為,所以長度的最小值為.點(diǎn)評(píng):本題表面上考查兩點(diǎn)間距離,實(shí)質(zhì)上由圓的幾何性質(zhì)知,與圓上的點(diǎn)有關(guān)的距離的最值問題都要與圓心聯(lián)系起來,直線與圓相離時(shí),圓心到直線的距離

7、為,圓半徑為,則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為7,最小值為.另外動(dòng)點(diǎn)問題,要注意的是動(dòng)點(diǎn)必在某條曲線上,找到這條曲線后可借助曲線的性質(zhì)分析、解決問題.4.與面積相關(guān)的最值問題與圓的面積的最值問題,一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系,借助函數(shù)求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有時(shí)可以通過轉(zhuǎn)化思想,利用數(shù)形結(jié)合思想求解.例4動(dòng)圓C經(jīng)過點(diǎn),并且與直線相切,若動(dòng)圓C與直線總有公共點(diǎn),則圓C的面積.思路分析:設(shè)出動(dòng)圓圓心坐標(biāo)與半徑,根據(jù)條件找出半徑與圓心滿足的關(guān)系式,利用動(dòng)圓C與直線總有公共點(diǎn),列出某個(gè)量的不等式

8、,求出其取值范圍,從而求出圓的半徑的取值范圍,作出正確選擇【解析】設(shè)圓心為,半徑為,,即,即,∴圓心為,,圓心到直線的距離為,∴或,當(dāng)時(shí),,∴.點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想是解題的

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