利用數(shù)形結(jié)合思想求最值.doc李翻紅

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1、利用數(shù)形結(jié)合思想求最值商州區(qū)夜村中學(xué)?李翻紅【摘要】：在中學(xué)階段,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用十分廣泛,它作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,能很好地把各部分內(nèi)容聯(lián)系起來,并貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的整體思路中.因此在求最值問題時，采用數(shù)形結(jié)合思想的方法，由形．思數(shù)，由數(shù)想形，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機(jī)地結(jié)合起來，有利于開闊學(xué)生的解題思路，發(fā)展其形象思維能力培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維,提高學(xué)生的解題能力.【關(guān)鍵詞】：?數(shù)形結(jié)合?最值問題?數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，即將代數(shù)問題幾何化，運用圖形的幾何性質(zhì)來解決，或?qū)?/p>

2、何問題代數(shù)化，運用代數(shù)特征進(jìn)行運算解決，其方法是以形助數(shù)，以數(shù)助形，數(shù)形滲透，相互作用。其目的是將復(fù)雜問題簡單化，隱蔽的問題明朗化，抽象的問題直觀化，以便迅速、簡捷、合理地解決問題,因此求最值問題時運用數(shù)形結(jié)合思想不僅直觀、易發(fā)現(xiàn)解題途徑,而且能避免復(fù)雜的計算與推理,大大簡化了解題過程。所以要注意培養(yǎng)這種思想意識,要爭取胸中有圖,見數(shù)想圖,以開拓自己的思維視野。下面僅舉幾例說明：一、利用兩點間距離公式求最值問題。在一些等式或代數(shù)式的題目中，其結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義，如含有根號的不等式、代數(shù)式，都有明顯的幾何意義，若能運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，利用兩點

3、間距離公式，可以很快解決問題。例如：例1、求函數(shù)y=的最小值.分析：考察式子特點，從代數(shù)的角度求解，學(xué)生的思維受阻，這時利用數(shù)形結(jié)合為轉(zhuǎn)化手段，引導(dǎo)學(xué)生探索函數(shù)背后的幾何背景，巧用兩點間距離公式，可化為＝令A(yù)（0，1），B（2，2），P（x，0），則問題轉(zhuǎn)化為在X軸上求一點P，使｜PA｜+｜PB｜有最小值.如圖1，由于AB在X軸同側(cè)，故取A關(guān)于X軸的對稱點，圖1故（｜PA｜+｜PB｜）min=二、利用換元法解決含有根號的函數(shù)的最值問題。在一些含有根號的代數(shù)式的題目中，其結(jié)構(gòu)沒有明顯的幾何意義，此時利用兩點間距離公式可能做不出來，若能利用換元法，運用

4、數(shù)形結(jié)合的思想方法，也可以很快解決問題，例如：例2、分析：由于函數(shù)右端根號內(nèi)t同為t的一次式，若只做簡單換元無法轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到上面函數(shù)右邊有兩個根號，故可采用兩步換元：，第一象限的部分（包括端點）有公共點，（如圖2）相切于第一象限時，u取最大值三、利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義求復(fù)數(shù)的模的最值。在求解一些關(guān)于復(fù)數(shù)的題目中，經(jīng)常利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義來求解，如：表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z到原點O的距離；表示復(fù)數(shù)z和對應(yīng)的點Z和兩點的距離；=1表示單位圓=表示復(fù)數(shù)和兩點的連線的垂

5、直平分線。在關(guān)于復(fù)數(shù)的題目中，若能利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義來求解，可以達(dá)到意想不到的效果，例如：例3、已知復(fù)數(shù)z滿足，求z的模的最大值、最小值。分析：由于=，有明顯的幾何意義，它表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點之間的距離，因此滿足的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z，在以（2，2）為圓心，半徑為的圓上（圖3），而表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z到原點O的距離，顯然，當(dāng)點Z、圓心C、點O三點共線時，取得最值，∴復(fù)數(shù)z的模的最大值為，最小值為。四、利用斜率公式求函數(shù)的值域在一些分子、分母都是三角函數(shù)或一次函數(shù)的代數(shù)式中，要求其值域，很多都轉(zhuǎn)化為經(jīng)過兩點的直線的來求解，例如：例4、分析

6、：很明顯，函數(shù)（圖4），，五、利用及線性規(guī)劃求值域例5、已知點P（,y）在線性區(qū)域內(nèi)，求（1）U＝（2）V＝的值域圖5分析：由線性規(guī)劃可知P（,y）在直角OAB內(nèi)（包括邊界），實質(zhì)上是點M（4，3）到直線AB的距離；V的值域?qū)嵸|(zhì)上是直線PM斜率的取值范圍(圖5)。從上面所舉的例子中，可以看出：數(shù)形結(jié)合思想是“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合；應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是要充分考查數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)

7、系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使問題得到解決。