平面問題有限元解法(公式推導講解).ppt

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1、平面問題的有限單元解法有限單元法基本思想有限單元法的思想是將物體（連續(xù)的求解域）離散成有限個且按一定方式相互聯結在一起的單元組合，來模擬或逼近原來的物體，從而將一個連續(xù)的無限自由度問題簡化為離散的有限自由度問題求解的一種數值分析法。物體被離散后，通過對其中各個單元進行單元分析，最終得到對整個物體的分析。有限單元法的分析步驟如下：物體離散化單元特性分析單元組集，整體分析求解未知節(jié)點的位移由節(jié)點的位移求解各單元的位移和應力7/31/2021有限元單元模型中幾個重要概念單元網格劃分中每一個小的塊體節(jié)點確定單元形狀、單元之間相互聯

2、結的點節(jié)點力單元上節(jié)點處的結構內力載荷作用在單元節(jié)點上的外力（集中力、分布力）約束限制某些節(jié)點的某些自由度彈性模量（楊式模量）E泊松比（橫向變形系數）μ密度單元單元載荷節(jié)點節(jié)點力約束7/31/20211.研究內容內容：彈性體在外力或溫度作用下的應力、變形、位移等分布規(guī)律。任務：解決彈性體的強度、剛度、穩(wěn)定性問題。彈性力學的內容及基本假定2.研究對象一般彈性實體結構：三維彈性固體、板狀結構、桿件等7/31/2021彈性力學的內容及基本假定3.研究方法由平衡方程、幾何方程、物理方程三方面分析4.數學理論基礎——偏微分方程（高階

3、，二、三個變量）數值解法：能量法（變分法）、差分法、有限單元法等。7/31/2021彈性力學的內容及基本假定5.基本假定（1）.連續(xù)性假定整個物體的體積都被組成物體的介質充滿，不留下任何空隙。作用：使得σ、ε、u等量表示成坐標的連續(xù)函數。7/31/2021彈性力學的內容及基本假定（2）.完全彈性假定假定物體完全服從虎克（Hooke）定律，應力與應變間成線性比例關系。脆性材料——一直到破壞前，都可近似為線彈性的；塑性材料——比例階段，可視為線彈性的。（3）.均勻性假定假定整個物體是由同一種材料組成的，各部分材料性質相同。作用

4、：彈性常數（E、μ）等——不隨位置坐標而變化；取微元體分析的結果可應用于整個物體。7/31/2021彈性力學的內容及基本假定（4）.各向同性假定（5）.小變形假定假定物體內一點的力學性質在所有各個方向都相同。作用：彈性常數（E、μ）——不隨坐標方向而變化；假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內各點位移遠遠小于物體的原來的尺寸。作用：建立方程時，可略去高階微量；可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。使求解的方程線性化。7/31/2021基本概念：外力、應力、形變、位移。1.外力：體力、面力(1)體力——分布在物體體積內的力—

5、—體力分布集度（矢量）xyzO單位：N/m3kN/m3說明：f是坐標的連續(xù)分布函數；彈性力學中的幾個基本概念p7/31/2021(2)面力——分布在物體表面的力——面力分布集度（矢量）xyzO單位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)說明：彈性力學中的幾個基本概念是坐標的連續(xù)分布函數；p7/31/20212.應力(1)一點應力的概念ΔAΔF內力(1)物體內部分子或原子間的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考慮)P截面上P點的應力應力矢量.的極限方向應力分量n(法線)應力的法向

6、分量——正應力應力的切向分量——切應力單位:MPa(兆帕)應力關于坐標連續(xù)分布彈性力學中的幾個基本概念7/31/2021(2)一點的應力狀態(tài)通過一點P的各個面上應力狀況的集合——稱為一點的應力狀態(tài)x面的應力：y面的應力：z面的應力：彈性力學中的幾個基本概念7/31/2021用矩陣表示：其中，只有6個量獨立。切應力互等定理應力正負號的規(guī)定：正應力——拉為正，壓為負。切應力——坐標正面上，與坐標正向一致時為正；坐標負面上，與坐標正向相反時為正。xyzO彈性力學中的幾個基本概念7/31/20213.形變形變——物體的形狀改變xy

7、zO（1）線段長度的改變（2）兩線段間夾角的改變。PBCA——用正應變ε度量——切應變γ度量（切應變——兩垂直線段夾角（直角）的改變量）三個方向的正應變：三個平面內的切應變：(1)一點形變的度量應變的正負：正應變：伸長時為正，縮短時為負；切應變：以直角變小時為正，變大時為負；彈性力學中的幾個基本概念7/31/2021(2)一點應變狀態(tài)其中應變無量綱；4.位移注：一點的位移——矢量S應變分量均為位置坐標的函數xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量綱：m或mm彈性

8、力學中的幾個基本概念7/31/2021工程力學問題建立力學模型的過程中，一般從三方面進行簡化：結構簡化如空間問題向平面問題的簡化，向軸對稱問題的簡化，實體結構向板、殼結構的簡化。受力簡化如：根據圣維南原理，復雜力系簡化為等效力系等。材料簡化根據各向同性、連續(xù)、均勻等假設進行簡化。7/31/2021平面問