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1、平面問題的有限單元解法南京農(nóng)業(yè)大學工學院機械工程系7/28/2021南京農(nóng)業(yè)大學工學院機械工程系有限元單元法基本思想有限單元法的思想是將物體（連續(xù)的求解域）離散成有限個且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元組合，來模擬或逼近原來的物體，從而將一個連續(xù)的無限自由度問題簡化為離散的有限自由度問題求解的一種數(shù)值分析法。物體被離散后，通過對其中各個單元進行單元分析，最終得到對整個物體的分析。有限單元法的分析步驟如下：物體離散化單元特性分析單元組集，整體分析求解未知節(jié)點的位移由節(jié)點的位移求解各單元的位移和應力7/28/2021南京農(nóng)業(yè)大學工學院機械工程系基本變量uεσ（位移）（應變）（應力
2、）基本方程力的平衡方程幾何方程物理方程求解方法經(jīng)典解析半解析傳統(tǒng)數(shù)值解法現(xiàn)代數(shù)值解法（計算機硬件、規(guī)范化、標準化、規(guī)模化）物體變形及受力情況的描述三大方面三大方程即：σ=EεE彈性模量7/28/2021南京農(nóng)業(yè)大學工學院機械工程系有限元單元模型中幾個重要概念單元網(wǎng)格劃分中每一個小的塊體節(jié)點確定單元形狀、單元之間相互聯(lián)結(jié)的點節(jié)點力單元上節(jié)點處的結(jié)構(gòu)內(nèi)力載荷作用在單元節(jié)點上的外力（集中力、分布力）約束限制某些節(jié)點的某些自由度彈性模量（楊式模量）E泊松比（橫向變形系數(shù)）μ密度單元單元載荷節(jié)點節(jié)點力約束7/28/2021南京農(nóng)業(yè)大學工學院機械工程系平面問題有限單元法基本概念有限單元
3、法(FEM)是20世紀50年代以來隨著計算機的廣泛應用而發(fā)展起來的一種數(shù)值解法。簡單地說，就是用結(jié)構(gòu)力學方法求解彈性力學問題。平面問題的有限單元法求解將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)。即將連續(xù)體劃分為有限多個有限大小的單元，這些單元僅在一些結(jié)點連接起來，構(gòu)成一個所謂離散化結(jié)構(gòu)。（對于平面問題，常用的單元是三角形單元）用結(jié)構(gòu)力學方法進行求解7/28/2021南京農(nóng)業(yè)大學工學院機械工程系有限元單元法分析步驟（一）結(jié)構(gòu)離散化將結(jié)構(gòu)分成有限個小的單元體，單元與單元、單元與邊界之間通過節(jié)點連接。結(jié)構(gòu)的離散化是有限元法分析地第一步，關(guān)系到計算精度和效率，包括以下三個方面：單元類型的選擇。選定
4、單元類型，確定單元形狀、單元節(jié)點數(shù)、節(jié)點自由度數(shù)等。單元劃分。網(wǎng)格劃分越細，節(jié)點越多，計算結(jié)果越精確，但計算量越大。網(wǎng)格加密到一定程度后計算精度提高就不明顯，對應應力變化平緩區(qū)域不必要細分網(wǎng)格。節(jié)點編碼。注意：有限元分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是由同樣材料、眾多單元以一定方式連接成的離散物體。所以，用有限元分析計算所獲得的結(jié)果是近似的（滿足工程要求即可）。7/28/2021南京農(nóng)業(yè)大學工學院機械工程系有限元單元法分析步驟（二）單元特性分析選擇未知量模式選擇節(jié)點位移作為基本未知量時，稱為位移法；選節(jié)點力作為基本未知量時，稱為力法；取一部分節(jié)點位移和一部分節(jié)點力作為未
5、知量，稱為混合法。分析單元力學性質(zhì)根據(jù)單元材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移關(guān)系式，應用幾何方程和物理方程建立力和位移的方程式，從而導出單元剛度矩陣。計算等效節(jié)點力作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點上去，即用等效力來替代所有作用在單元上的力。7/28/2021南京農(nóng)業(yè)大學工學院機械工程系有限元單元法分析步驟（三）整體分析集成整體節(jié)點載荷矢量F。結(jié)構(gòu)離散化后，單元之間通過節(jié)點傳遞力，作用在單元邊界上的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點上去，形成等效節(jié)點載荷。將所有節(jié)點載荷按照整體節(jié)點編碼順序組集成整體節(jié)點載荷矢量
6、。組成整體剛度矩陣K，得到總體平衡方程：引進邊界約束條件，解總體平衡方程求出節(jié)點位移。通過上述分析可以看出有限單元法的基本思想是“一分一合”，分是為了進行單元分析，合是為了對整體的結(jié)構(gòu)進行綜合分析。7/28/2021南京農(nóng)業(yè)大學工學院機械工程系彈性力學中的幾個基本概念作用于物體的外力可以分為體積力和表面力。體力：分布在物體體積內(nèi)的力，如重力、慣性力。為了表明物體在某一點P所受體力的大小和方向，在這一點取物體的一小部分，它包含P點，而它的體積為△V，作用于其上的體力為△F，則體力的平均集度為△F/△V。當△V不斷減小，假定體力為連續(xù)分布，則△F/△V將趨于一定的極限f，即:這
7、個極限矢量f就是該物體在P點所受體力在集度。f的方向就是△F的方向，矢量f在坐標軸x,y,z上的投影fx,fy,fz稱為該物體在P點的體力分量，以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。7/28/2021南京農(nóng)業(yè)大學工學院機械工程系彈性力學中的幾個基本概念面力：分布在物體表面上的力，如流體壓力和接觸力。為了表明物體在某一點P所受面力的大小和方向，在這一點取物體表面的一小部分，它包含P點，而它的面積為△S，作用于其上的面力為△F，則面力的平均集度為△F/△S。當△S不斷減小，假定體力為連續(xù)分布，則△F/△S將趨于一定
