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1、第六章彎曲應力§6－1梁的正應力一、純彎曲與平面假設(shè)1、純彎曲——梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上只有彎矩而無剪力(如圖5－1中的CD段)。2、橫力彎曲——梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上既有彎矩又有剪力(如圖6－1中的AC、BD段)。alABaACD(a)FF圖6－1FS圖M圖(b)(c)FFFa3、梁的純彎曲實驗橫向線(mn、pq）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榛【€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍保持垂直。由梁變形的連續(xù)性可知：在梁中一定有一層上的纖維既不伸長也不縮短，此層稱為中性層。中性層與梁橫截面的交線稱為中性軸。圖6－2(b)(a)mnpqmnpqFFCD二、正應力公式的推導1、幾何
2、方面相應的縱向線應變?yōu)椋海?－1）弧線O1O2的長度為：(a)距中性層為y處的縱向纖維ab的伸長為：(b)圖6?3(b)中性層中性軸abO1O2mnpq(a)dxmnpqdθρy(c)dxabO2O12、物理方面將式代入，得（6－2）此式表明，梁橫截面上的正應力與其作用點到中性軸的距離成正比，并且在y坐標相同的各點處正應力相等，如圖5?4所示。圖6－4梁的各縱向纖維均處于單向受力狀態(tài)，因此，在彈性范圍內(nèi)正應力與線應變的關(guān)系為：(c)3、靜力學方面由圖6?4可以看出，梁橫截面上各微面積上的微內(nèi)力dFN=σdA構(gòu)成了空間平行力系，它們向截面形心簡化的結(jié)果應為以下三個內(nèi)力分量，，由截面法可知，上式
3、中的FN，My均等于零，而MZ就是該截面上的彎矩M，所以有(d)(e)(f)圖6－4又因為不等于零，所以有(g)即梁橫截面對中性軸（z軸）的靜矩等于零。由此可知，中性軸通過橫截面的形心，于是就確定了中性軸的位置。(d)(e)(f)由式（e）可得因此(h)即梁橫截面對y、z軸的慣性積等于零，說明y、z軸應為橫截面的主軸，又y、z軸過橫截面的形心，所以其應為橫截面的形心主軸。(d)(e)(f)最后由式（f）可得上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。將式（6?3）代入式（6?2），可得梁在純彎曲時橫截面上任一點的正應力的計算公式為（6－4）（6－3）即有yzOdAyzhb應用此式時，如果如圖中那樣取y軸
4、向下為正的坐標系來定義式中y的正負，則在彎矩M按以前的規(guī)定確定其正負的情況下，所得正應力的正負自動表示拉應力或壓應力。但實際應用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應力之點在中性軸的哪一側(cè)來判別彎曲正應力為拉應力還是壓應力；在此情況下可以把式中的y看作求應力的點離中性軸z的距離。三、梁在純彎曲時橫截面上任一點的正應力的計算公式為（6－4）四、橫截面上的最大應力yc,maxyt,maxyzbd1hOd2中性軸z為橫截面對稱軸的梁其橫截面上最大拉應力和最大壓應力的值相等；中性軸z不是橫截面對稱軸的梁(如圖)，其橫截面上的最大拉應力和最大壓應力的值不相等。中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大
5、拉、壓應力的值為（6－5）式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)，其單位為m3。橫截面上應力分布hbzyoyc,maxyt,maxyzbd1Od2中性軸z不是橫截面的對稱軸時，其橫截面上最大拉應力值和最大壓應力值為在豎向荷載作用下，通常梁橫截面上不僅有彎矩而且有剪力，這種情況下我們稱之為橫力彎曲。而實際工程中的梁，大多發(fā)生的都是橫力彎曲。對于工程實際中常用的梁，應用純彎曲時的正應力計算公式來計算梁在橫力彎曲時橫截面上的正應力，所得的結(jié)果雖略偏低一些，但足以滿足工程中的精度要求。五、橫力彎曲解：先求出C截面上彎矩例題6?1長為l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b
6、=0.12m，y=0.06m，a=2m，F(xiàn)=1.5kN，求C截面上K點的正應力。例題6－1圖截面對中性軸的慣性矩將MC、Iz、y代入正應力計算公式，則有K點的正應力為正值，表明其應為拉應力?！?－2梁的正應力強度條件及其應用一、梁的正應力強度條件對梁的某一橫截面來講，最大正應力發(fā)生在距中性軸最遠的位置，此時而對整個等截面梁來講，最大正應力應發(fā)生在彎矩最大的橫截面上，距中性軸最遠的位置，即（6－5）式中的Wz稱為彎曲截面系數(shù)，它與梁的截面形狀和尺寸有關(guān)。對矩形截面對圓形截面各種型鋼的截面慣性矩Iz和彎曲截面系數(shù)Wz的數(shù)值，可以在型鋼表中查得。為了保證梁能安全的工作，必須使梁橫截面上的最大正應力
7、不超過材料的許用應力，所以梁的正應力強度條件為（6－6）式中的Wz稱為彎曲截面系數(shù)，它與梁的截面形狀和尺寸有關(guān)。二、三種強度問題的計算根據(jù)式（6?6）可以求解與梁強度有關(guān)的三種問題。（2）選擇截面（3）確定許用荷載（1）強度校核由梁的彎矩圖可以看出，梁中最大彎矩應發(fā)生在跨中截面上，其值為彎曲截面系數(shù)為由于最大正應力應發(fā)生在最大彎矩所在截面上，所以有所以滿足正應力強度要求。例題6-2一矩形截面簡支木梁如圖所示，
