2017中考數(shù)學(xué)試題匯編二次函數(shù)

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1、2017中考試題匯編--------二次函數(shù)(2017貴州銅仁)25．（14分）如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，﹣2），并與x軸交于點C，點M是拋物線對稱軸l上任意一點（點M，B，C三點不在同一直線上）．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；（2）在拋物線上找出兩點P1，P2，使得△MP1P2與△MCB全等，并求出點P1，P2的坐標(biāo)；（3）在對稱軸上是否存在點Q，使得∠BQC為直角，若存在，作出點Q（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡），并求出點Q的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式；（2）分三種情況：①當(dāng)△P1MP2

2、≌△CMB時，取對稱點可得點P1，P2的坐標(biāo)；②當(dāng)△BMC≌△P2P1M時，構(gòu)建?P2MBC可得點P1，P2的坐標(biāo)；③△P1MP2≌△CBM，構(gòu)建?MP1P2C，根據(jù)平移規(guī)律可得P1，P2的坐標(biāo)；（3）如圖3，先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以BC為直徑畫圓，與對稱軸的交點即為點Q，這樣的點Q有兩個，作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明△BDQ1∽△Q1EC，列比例式，可得點Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入拋物線y=x2+bx+c中得：，33解得：，∴拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式為：y=x2﹣x﹣2；（2）如圖1，P1與A重合，P2

3、與B關(guān)于l對稱，∴MB=P2M，P1M=CM，P1P2=BC，∴△P1MP2≌△CMB，∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，此時P1（﹣1，0），∵B（0，﹣2），對稱軸：直線x=，∴P2（1，﹣2）；如圖2，MP2∥BC，且MP2=BC，此時，P1與C重合，∵MP2=BC，MC=MC，∠P2MC=∠BP1M，∴△BMC≌△P2P1M，∴P1（2，0），由點B向右平移個單位到M，可知：點C向右平移個單位到P2，當(dāng)x=時，y=（﹣）2﹣=，∴P2（，）；如圖3，構(gòu)建?MP1P2C，可得△P1MP2≌△CBM，此時P2與B重合，由點C向左平移2個單位到B，可知：點

4、M向左平移2個單位到P1，∴點P1的橫坐標(biāo)為﹣，當(dāng)x=﹣時，y=（﹣﹣）2﹣=4﹣=，∴P1（﹣，），P2（0，﹣2）；33（3）如圖3，存在，作法：以BC為直徑作圓交對稱軸l于兩點Q1、Q2，則∠BQ1C=∠BQ2C=90°；過Q1作DE⊥y軸于D，過C作CE⊥DE于E，設(shè)Q1（，y）（y＞0），易得△BDQ1∽△Q1EC，∴，∴=，y2+2y﹣=0，解得：y1=（舍），y2=，∴Q1（，），同理可得：Q2（，）；綜上所述，點Q的坐標(biāo)是：（，）或（，）．33【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、圓周角定理以及

5、三角形全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（233）利用二次函數(shù)的對稱性解決三角形全等問題；（3）分類討論．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用二次函數(shù)的對稱性，再結(jié)合相似三角形、方程解決問題是關(guān)鍵．　(2017湖南)27．（12分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E為邊AB上一動點，連結(jié)CE并將其繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，連結(jié)DF，以CE、CF為鄰邊作矩形CFGE，GE與AD、AC分別交于點H、M，GF交CD延長線于點N．（1）證明：點A、D、F在同一條直線上；（2）隨著點E的移動，線段DH是否有最小值？

6、若有，求出最小值；若沒有，請說明理由；（3）連結(jié)EF、MN，當(dāng)MN∥EF時，求AE的長．【分析】（1）由△DCF≌△BCE，可得∠CDF=∠B=90°，即可推出∠CDF+∠CDA=180°，由此即可證明．（2）有最小值．設(shè)AE=x，DH=y，則AH=1﹣y，BE=1﹣x，由△ECB∽△HEA，推出=，可得=，推出y=x2﹣x+1=（x﹣）2+，由a=1＞0，y有最小值，最小值為．（3）只要證明△CFN≌△CEM，推出∠FCN=∠ECM，由∠MCN=45°，可得∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，在BC上取一點G，使得GC=GE，則△BGE是等腰直角三角

7、形，設(shè)BE=BG=a，則GC=GE=a，可得a+a=1，求出a即可解決問題；【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=∠B=∠ADC=90°，∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠ECF=∠DCB，33∴∠DCF=∠BCE，∴△DCF≌△BCE，∴∠CDF=∠B=90°，∴∠CDF+∠CDA=180°，∴點A、D、F在同一條直線上．（2）解：有最小值．理由：設(shè)AE=x，DH=y，則AH=1﹣y，BE=1﹣x，∵四邊形CFGE是矩形，∴∠CEG=90°，∴∠CEB+∠AEH=90°CEB+∠ECB=90°，∴∠ECB=∠AEH，∵∠B

8、=∠EAH=90°，∴△ECB∽△HEA，∴=，∴=