函數(shù)的奇偶性習(xí)題

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1、函數(shù)奇偶性函數(shù)奇偶性的概念:偶函數(shù)定義:如果對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫偶函數(shù).奇函數(shù)定義:如果對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù).☆對(duì)奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的說(shuō)明:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件（前提條件）。[a,b][-b,-a]xo利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：(1)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；(2)確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；(3)作出相應(yīng)結(jié)論．判斷函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性．(1)f(x)＝x＋x3＋x5；

2、(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．分析：先求定義域，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．解析：(1)函數(shù)f(x)＝x＋x3＋x5的定義域?yàn)镽.當(dāng)x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)＝x＋x3＋x5為奇函數(shù)．(2)函數(shù)f(x)＝x2＋1的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，∴f(x)＝x2＋1是偶函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)＝x＋1的定義域是R，當(dāng)x∈R時(shí)，－x∈R，∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1

3、)，f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，(x∈R)∴f(x)＝x＋1既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(4)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，存在3∈[－1,3]，而－3[－1,3]．∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)．點(diǎn)評(píng)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具備奇偶性的前提．練習(xí).判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)(2)(3)(4)說(shuō)明：根據(jù)奇偶性,函數(shù)可劃分為四類(lèi),①偶函數(shù)②奇函數(shù)③既奇又偶函數(shù)④非奇非偶函數(shù)題2.已知函數(shù)且f(-2)=10，則f(2)等于()A-26B-18C-10D10A12.函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間［-a，a］(a＞0）上都是奇函數(shù)，則

4、下列結(jié)論：①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函數(shù)；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函數(shù)；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函數(shù)；④f(0)+g(0)=0,其中正確的個(gè)數(shù)是4跟蹤訓(xùn)練2．偶函數(shù)f(x)(x∈R)滿(mǎn)足：f(－4)＝f(1)＝0，且在區(qū)間[0,3]與[3，＋∞)上分別遞減和遞增，使f(x)＜0的自變量范圍是()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－∞，－4)∪(－1,0)D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)解析：根據(jù)題目條件，想象函數(shù)圖象如下：答案：B利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式已知函數(shù)f(x)是定義在(

5、－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝x－x4，求當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)的表達(dá)式．解析：當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，－x∈(－∞，0)，因?yàn)閤∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝x－x4，所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，因?yàn)閒(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x－x4.跟蹤訓(xùn)練3．若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x(1－x)，求當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式．分析：將x<0時(shí)，f(x)的解析式轉(zhuǎn)化到x>0上，這是解決本題的關(guān)鍵．解析：由f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝

6、－f(－x)＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)；當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝－f(0)f(0)+f(0)=02f(0)=0即f(0)＝0.∴當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x(1＋x)．1．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：(1)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；(2)確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；(3)作出相應(yīng)結(jié)論．2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，則f(x)是偶函數(shù)．3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，則f(x)是奇函數(shù)．4．函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)有奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)．5．由函數(shù)的奇偶性定

7、義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))．6．奇函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同、函數(shù)值相反．7．偶函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反、函數(shù)值相同．8．設(shè)f(x)，g(x)有公共的定義域，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇題5.定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0，f（x）＜0，f（－1）=2.求證：（1）判斷函數(shù)f（x）的