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《考研——積分上限的函數(shù)(變上限積分、變限積分)知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、考研——積分上限的函數(shù)（變上限積分）知識(shí)點(diǎn)形如上式的積分，叫做變限積分。注意點(diǎn)：1、在求導(dǎo)時(shí)，是關(guān)于x求導(dǎo)，用課本上的求導(dǎo)公式直接計(jì)算。2、在求積分時(shí)，則把x看作常數(shù)，積分變量在積分區(qū)間上變動(dòng)。（即在積分內(nèi)的x作為常數(shù)，可以提到積分之外。）關(guān)于積分上限函數(shù)的理論定理1如果在上連續(xù)，則在（a，b）上可積，而可積，則在上連續(xù)。定理2如果在上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在（a，b）上可積。定理3如果在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，而且有==========================================注：（Ⅰ）從以上定理可看出，對(duì)作變上限積分后得到的函數(shù)，性質(zhì)比原來(lái)的函數(shù)改進(jìn)了一步：可積改
2、進(jìn)為連續(xù)；連續(xù)改進(jìn)為可導(dǎo)。這是積分上限函數(shù)的良好性質(zhì)。而我們知道，可導(dǎo)函數(shù)經(jīng)過(guò)求導(dǎo)后，其導(dǎo)函數(shù)甚至不一定是連續(xù)的。（Ⅱ）定理（3）也稱(chēng)為原函數(shù)存在定理。它說(shuō)明：連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)，并通過(guò)定積分的形式給出了它的一個(gè)原函數(shù)。我們知道，求原函數(shù)是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，本質(zhì)上是微分學(xué)的問(wèn)題；而求定積分是求一個(gè)特定和式的極限，是積分學(xué)的問(wèn)題。定理（3）把兩者聯(lián)系了起來(lái)，從而使微分學(xué)和積分學(xué)統(tǒng)一成為一個(gè)整體，有重要意義。重要推論及計(jì)算公式：推論1<變上限積分改變上下限，變號(hào)。>推論2<上限是復(fù)合函數(shù)的情況求導(dǎo)。>推論3<上下限都是變的時(shí)候，用上限的減去下限的。>題型中常見(jiàn)積分限函數(shù)的變形和復(fù)合情況：（1）
3、比如(被積函數(shù)中含x,但x可提到積分號(hào)外面來(lái).)在求時(shí)，先將右端化為的形式，再對(duì)求導(dǎo)。分離后左邊的部分要按照(uv)＇=u＇v+uv＇進(jìn)行求導(dǎo)！（重點(diǎn)）（2）比如(f的自變量中含x,可通過(guò)變量代換將x置換到f的外面來(lái))在求時(shí)，先對(duì)右端的定積分做變量代換（把看作常數(shù)），此時(shí)，，時(shí)，；時(shí)，，這樣，就化成了以作為積分變量的積分下限函數(shù)：，然后再對(duì)x求導(dǎo)。(3)比如(這是含參數(shù)x的定積分,可通過(guò)變量代換將x變換到積分限的位置上去)在求時(shí)，先對(duì)右端的定積分做變量代換（把看作常數(shù)），此時(shí)，，時(shí)，；時(shí)，，于是，就化成了以作為積分變量的積分上限函數(shù)：，然后再對(duì)x求導(dǎo)。有積分限函數(shù)參與的題型舉例（1）極限問(wèn)題
4、：例1（提示：0/0型，用洛必達(dá)法則，答：12）例2（提示：洛必達(dá)法則求不出結(jié)果，用夾逼準(zhǔn)則，0=<
5、sinx
6、=<1。答：）例3已知極限，試確定其中的非零常數(shù)（答：）（1）求導(dǎo)問(wèn)題例4已知求(參數(shù)方程，你懂的！答:)例5已知求(答:)例6求(答:)例7設(shè)在內(nèi)連續(xù)且求證在內(nèi)單調(diào)增加.（同濟(jì)高數(shù)課本Unit5-3例題7）（2）最大最小值問(wèn)題例8在區(qū)間上求一點(diǎn),使得下圖中所示的陰影部分的面積為最小.Oey=lnxxy11(提示:先將面積表達(dá)為兩個(gè)變限定積分之和:,然后求出,再求出其駐點(diǎn).答:.)例9設(shè)，為正整數(shù).證明的最大值不超過(guò)(提示:先求出函數(shù)的最大值點(diǎn),然后估計(jì)函數(shù)最大值的上界.)(4)積
7、分問(wèn)題例10計(jì)算，其中.(提示:當(dāng)定積分的被積函數(shù)中含有積分上限函數(shù)的因子時(shí),總是用分部積分法求解,且取為積分上限函數(shù).答:)例11設(shè)在內(nèi)連續(xù),證明(提示:對(duì)右端的積分施行分部積分法.)例12設(shè)求在內(nèi)的表達(dá)式.(說(shuō)明:這類(lèi)題在概論課中求連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)時(shí)會(huì)遇到.求表達(dá)式時(shí),注意對(duì)任一取定的,積分變量在內(nèi)變動(dòng).答:)(5)含有未知函數(shù)的變上限定積分的方程（稱(chēng)為積分方程）的求解問(wèn)題例13設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足求(答:)（說(shuō)明：這類(lèi)問(wèn)題總是通過(guò)兩端求導(dǎo)，將所給的積分方程化為微分方程，然后求解.注意初值條件隱含在積分方程內(nèi).答:）例14設(shè)為正值連續(xù)函數(shù),且對(duì)任一,曲線在區(qū)間上的一段弧長(zhǎng)等于此弧段
8、下曲邊梯形的面積,求此曲線方程.(說(shuō)明:根據(jù)題設(shè)列出的方程將含有的積分上限函數(shù).答:(6)利用積分上限函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)以證明積分不等式等.例15設(shè)均在上連續(xù),證明以下的Cauchy-Swartz不等式:說(shuō)明:本題的通常證法是從不等式出發(fā),由關(guān)于的二次函數(shù)非負(fù)的判別條件即可證得結(jié)論.但也可構(gòu)造一個(gè)積分上限函數(shù),利用該函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明.提示如下:令則求出并證明從而單調(diào)減少,于是得由此可得結(jié)論.這種證法有一定的通用性.例如下例.例16設(shè)在[0,1]上連續(xù)且單調(diào)減少.證明:對(duì)任一有(提示:即證于是作只需證單調(diào)減少即可得結(jié)論.)利用積分上限函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù),還常用于證明與微分中值定理有關(guān)的某些結(jié)論.
9、比如下題.例17設(shè)在上連續(xù).求證:存在,使.(提示:令.對(duì)在上用Rolle定理即可證得結(jié)論)關(guān)于積分限函數(shù)的奇偶性與周期性定理4設(shè)連續(xù)，.如果是奇（偶）函數(shù)，則是偶（奇）函數(shù)；如果是周期為的函數(shù)，且,則是相同周期的周期函數(shù).證設(shè)奇,則,即為偶函數(shù).設(shè)偶,則,即為奇函數(shù).若，則,即為周期為T(mén)的周期函數(shù).例18設(shè)在內(nèi)連續(xù),.證明:(a)如果是偶函數(shù),則也是偶函數(shù);(b)如果是單調(diào)減少函數(shù),則也是單調(diào)減少函數(shù).
