考研——積分上限的函數(shù)(變上限積分、變限積分)知識點全面總結(jié)

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1、考研——積分上限的函數(shù)（變上限積分）知識點形如上式的積分，叫做變限積分。注意點：1、在求導(dǎo)時，是關(guān)于x求導(dǎo)，用課本上的求導(dǎo)公式直接計算。2、在求積分時，則把x看作常數(shù)，積分變量在積分區(qū)間上變動。（即在積分內(nèi)的x作為常數(shù)，可以提到積分之外。）關(guān)于積分上限函數(shù)的理論定理1如果在上連續(xù)，則在（a，b）上可積，而可積，則在上連續(xù)。定理2如果在上有界，且只有有限個間斷點，則在（a，b）上可積。定理3如果在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，而且有==========================================注：（Ⅰ）從以上定理可看出，對作變上限積分后得到的函數(shù)，性質(zhì)比原來的函數(shù)改進了

2、一步：可積改進為連續(xù)；連續(xù)改進為可導(dǎo)。這是積分上限函數(shù)的良好性質(zhì)。而我們知道，可導(dǎo)函數(shù)經(jīng)過求導(dǎo)后，其導(dǎo)函數(shù)甚至不一定是連續(xù)的。（Ⅱ）定理（3）也稱為原函數(shù)存在定理。它說明：連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)，并通過定積分的形式給出了它的一個原函數(shù)。我們知道，求原函數(shù)是求導(dǎo)運算的逆運算，本質(zhì)上是微分學(xué)的問題；而求定積分是求一個特定和式的極限，是積分學(xué)的問題。定理（3）把兩者聯(lián)系了起來，從而使微分學(xué)和積分學(xué)統(tǒng)一成為一個整體，有重要意義。重要推論及計算公式：6推論1<變上限積分改變上下限，變號。>推論2<上限是復(fù)合函數(shù)的情況求導(dǎo)。>推論3<上下限都是變的時候，用上限的減去下限的。>題型中常見積分限函

3、數(shù)的變形和復(fù)合情況：（1）比如(被積函數(shù)中含x,但x可提到積分號外面來.)在求時，先將右端化為的形式，再對求導(dǎo)。分離后左邊的部分要按照(uv)＇=u＇v+uv＇進行求導(dǎo)?。ㄖ攸c）（2）比如(f的自變量中含x,可通過變量代換將x置換到f的外面來)在求時，先對右端的定積分做變量代換（把看作常數(shù)），此時，，時，；時，，這樣，就化成了以作為積分變量的積分下限函數(shù)：，然后再對x求導(dǎo)。(3)比如(這是含參數(shù)x的定積分,可通過變量代換將x變換到積分限的位置上去)在求時，先對右端的定積分做變量代換（把看作常數(shù)），此時，，時，；時，，于是，就化成了以作為積分變量的積分上限函數(shù)：，然后再對x求導(dǎo)。有

4、積分限函數(shù)參與的題型舉例（1）極限問題：例1（提示：0/0型，用洛必達法則，答：12）例2（提示：洛必達法則求不出結(jié)果，用夾逼準則，0=<

5、sinx

6、=<1。答：6）例3已知極限，試確定其中的非零常數(shù)（答：）（1）求導(dǎo)問題例4已知求(參數(shù)方程，你懂的！答:)例5已知求(答:)例6求(答:)例7設(shè)在內(nèi)連續(xù)且求證在內(nèi)單調(diào)增加.（同濟高數(shù)課本Unit5-3例題7）（2）最大最小值問題例8在區(qū)間上求一點,使得下圖中所示的陰影部分的面積為最小.Oey=lnxxy11(提示:先將面積表達為兩個變限定積分之和:,然后求出,再求出其駐點.答:.)6例9設(shè)，為正整數(shù).證明的最大值不超過(提示:先求

7、出函數(shù)的最大值點,然后估計函數(shù)最大值的上界.)(4)積分問題例10計算，其中.(提示:當(dāng)定積分的被積函數(shù)中含有積分上限函數(shù)的因子時,總是用分部積分法求解,且取為積分上限函數(shù).答:)例11設(shè)在內(nèi)連續(xù),證明(提示:對右端的積分施行分部積分法.)例12設(shè)求在內(nèi)的表達式.(說明:這類題在概論課中求連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)時會遇到.求表達式時,注意對任一取定的,積分變量在內(nèi)變動.答:)(5)含有未知函數(shù)的變上限定積分的方程（稱為積分方程）的求解問題例13設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足求(答:)（說明：這類問題總是通過兩端求導(dǎo)，將所給的積分方程化為微分方程，然后求解.注意初值條件隱含在積分方程內(nèi).答:）

8、例14設(shè)為正值連續(xù)函數(shù),且對任一,曲線在區(qū)間上的一段弧長等于此弧段下曲邊梯形的面積,求此曲線方程.6(說明:根據(jù)題設(shè)列出的方程將含有的積分上限函數(shù).答:(6)利用積分上限函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)以證明積分不等式等.例15設(shè)均在上連續(xù),證明以下的Cauchy-Swartz不等式:說明:本題的通常證法是從不等式出發(fā),由關(guān)于的二次函數(shù)非負的判別條件即可證得結(jié)論.但也可構(gòu)造一個積分上限函數(shù),利用該函數(shù)的單調(diào)性來證明.提示如下:令則求出并證明從而單調(diào)減少,于是得由此可得結(jié)論.這種證法有一定的通用性.例如下例.例16設(shè)在[0,1]上連續(xù)且單調(diào)減少.證明:對任一有(提示:即證于是作只需證單調(diào)減少即可得

9、結(jié)論.)利用積分上限函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù),還常用于證明與微分中值定理有關(guān)的某些結(jié)論.比如下題.例17設(shè)在上連續(xù).求證:存在,使.(提示:令.對在上用Rolle定理即可證得結(jié)論)關(guān)于積分限函數(shù)的奇偶性與周期性定理4設(shè)連續(xù)，.如果是奇（偶）函數(shù)，則是偶（奇）函數(shù)；如果是周期為的函數(shù)，且,則是相同周期的周期函數(shù).證設(shè)奇,則,即為偶函數(shù).6設(shè)偶,則,即為奇函數(shù).若，則,即為周期為T的周期函數(shù).例18設(shè)在內(nèi)連續(xù),.證明:(a)如果是偶函數(shù),則也是偶函數(shù);(b)如果是單調(diào)減少函數(shù),則也是單調(diào)減少