對流擴(kuò)散方程有限差分方法

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1、對流擴(kuò)散方程有限差分方法求解對流擴(kuò)散方程的差分格式有很多種，在本節(jié)中將介紹以下3種有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隱式差分格式。3.1中心差分格式時間導(dǎo)數(shù)用向前差商、空間導(dǎo)數(shù)用中心差商來逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式（3）若令，，則（3）式可改寫為（4）從上式我們看到，在新的時間層上只包含了一個未知量，它可以由時間層上的值，，直接計算出來。因此，中心差分格式是求解對流擴(kuò)散方程的顯示格式。假定是定解問題的充分光滑的解，將，，分別在處進(jìn)行Taylor展開：代入(4)式，有顯然，當(dāng)，時，，即中心差分格式與定解問題是相容的。由以上的討論也

2、可得知，對流擴(kuò)散方程的中心差分格式的截斷誤差為。對于我們上面構(gòu)造的差分格式，是否可以直接用于實際計算呢？也就是說，如果初始值有誤差，在計算過程中誤差會不會擴(kuò)大傳播呢？這就是接下來我們要討論的是差分方程的穩(wěn)定性問題。下面用Fourier方法來分析中心差分格式的穩(wěn)定性。令，代入到（4）式整理得所以該差分格式的增長因子為：其模的平方為由于，所以（即差分格式穩(wěn)定）的充分條件為上式可以改寫為注意到，所以上面不等式滿足的條件為，。由此得到差分格式（3）的穩(wěn)定性限制為，。故有結(jié)論：對流擴(kuò)散方程的中心差分格式是條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax等價定理，我們可以知道，對流擴(kuò)散方程的中心差分格式是條件收斂的。3.2Sa

3、marskii格式設(shè)>0，先對方程(1)作擾動，得到另一個對流擴(kuò)散方程（5）其中，當(dāng)時，（5）式化為（1）式對于（5）式，構(gòu)造迎風(fēng)格式（6）差分格式（6）稱為逼近對流擴(kuò)散方程的Samarskii格式。首先推導(dǎo)（6）的截斷誤差。設(shè)是對流擴(kuò)散方程（1）式的充分光滑的解令用Taylor級數(shù)展開有再令用Taylor級數(shù)展開有由于所以當(dāng)，時，，所以Samarskii格式與定解問題是相容的，并且其截斷誤差為。現(xiàn)在看看Samarskii格式的穩(wěn)定性。將（6）式兩邊同時加上，把（6）式化為令，則上式即為：根據(jù)中心顯示格式穩(wěn)定性的討論，可以得到（6）式的穩(wěn)定性條件為，即，穩(wěn)定性的第二個條件等價于而利用不等式

4、所以利用穩(wěn)定性的第一個條件，有，從而可知穩(wěn)定性條件的第二個條件可由第一個條件推出，因此差分格式的穩(wěn)定性條件為，即。由Lax等價定理可知，Samarskii格式也是條件收斂的。3.3Crank-Nicolson型隱式差分格式前面討論了求解對流擴(kuò)散方程的兩種顯示格式，它們都是條件穩(wěn)定的，為了放松穩(wěn)定性條件，可以采用隱式格式進(jìn)行求解?，F(xiàn)在考慮Crank-Nicolson型隱式差分格式（7）令，，則（7）式可化為（8）把（8）式用矩陣的形式=+（9）設(shè)，，，則有下面討論Crank-Nicolson型格式的截斷誤差和精度。該格式涉及到時間層和時間層上的，，處六個點。設(shè)是定解問題的充分光滑的解，把(7

5、)式中各的值用代替，然后將，，，，，分別在點處進(jìn)行Taylor展開：這里出現(xiàn)的的各階偏導(dǎo)數(shù)假設(shè)都是存在而且連續(xù)的。于是（7）式的截斷誤差顯然，Crank-Nicolson型格式的精度是二階的。再來看看該格式的穩(wěn)定性情況，我們還是用Fourier方法來分析。令，代入到（8）式整理得所以Crank-Nicolson型格式的增長因子是其模的平方改寫上式由于及上式的分母為正，故即，從而得出Crank-Nicolson型格式是無條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax等價定理，Crank-Nicolson型格式也是無條件收斂的。4、數(shù)值例子給出如下對流擴(kuò)散方程的初邊值問題：所討論的對流擴(kuò)散方程的精確解為4.1三種差分

6、格式的比較在各種對流擴(kuò)散問題中，有許多對流相對于擴(kuò)散來說在問題中起主導(dǎo)作用。對流占有擴(kuò)散問題的數(shù)值求解面臨很多困難。因此，對流占有擴(kuò)散問題的有效數(shù)值解法一直是計算數(shù)學(xué)中重要的研究內(nèi)容。取，，，，此時上面給出的就是一個對流占優(yōu)擴(kuò)散問題。那么，本文討論的三種差分格式對對流占有擴(kuò)散問題的求解效果是怎樣的呢？現(xiàn)在我們就來看看這個問題。首先，根據(jù)差分格式的穩(wěn)定性條件，確定的取值范圍。（1）中心差分格式：根據(jù)穩(wěn)定性條件，可知，要使中心差分格式穩(wěn)定，的取值必須滿足：（2）Samarskii格式：根據(jù)穩(wěn)定性條件可知，的取值必須滿足：（3）Crank-Nicolson格式：該差分格式是無條件穩(wěn)定的，所以可以

7、取任意值。要使三種差分格式都是穩(wěn)定的，不妨取。首先，我們通過表格看看三種差分格式的數(shù)值解與準(zhǔn)確解之間的相對誤差。表4.1時三種差分格式結(jié)果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差01.219201.219201.219201.21920.11.1009-0.00231.10760.00441.10340.00021.10320.20.9950-0.00