對(duì)流擴(kuò)散方程有限差分方法

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1、WORD完美格式對(duì)流擴(kuò)散方程有限差分方法求解對(duì)流擴(kuò)散方程的差分格式有很多種，在本節(jié)中將介紹以下3種有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隱式差分格式。3.1中心差分格式時(shí)間導(dǎo)數(shù)用向前差商、空間導(dǎo)數(shù)用中心差商來逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式（3）若令，，則（3）式可改寫為（4）從上式我們看到，在新的時(shí)間層上只包含了一個(gè)未知量，它可以由時(shí)間層上的值，，直接計(jì)算出來。因此，中心差分格式是求解對(duì)流擴(kuò)散方程的顯示格式。假定是定解問題的充分光滑的解，將，，分別在處進(jìn)行Taylor展開：代入(4)式，有..整理分享

2、..WORD完美格式顯然，當(dāng)，時(shí)，，即中心差分格式與定解問題是相容的。由以上的討論也可得知，對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式的截?cái)嗾`差為。對(duì)于我們上面構(gòu)造的差分格式，是否可以直接用于實(shí)際計(jì)算呢？也就是說，如果初始值有誤差，在計(jì)算過程中誤差會(huì)不會(huì)擴(kuò)大傳播呢？這就是接下來我們要討論的是差分方程的穩(wěn)定性問題。下面用Fourier方法來分析中心差分格式的穩(wěn)定性。令，代入到（4）式整理得所以該差分格式的增長因子為：其模的平方為由于，所以（即差分格式穩(wěn)定）的充分條件為上式可以改寫為注意到，所以上面不等式滿足的條件為，。由此得到差分格式（3）的穩(wěn)定性限制為，。故有結(jié)論：對(duì)流

3、擴(kuò)散方程的中心差分格式是條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax等價(jià)定理，我們可以知道，對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式是條件收斂的。..整理分享..WORD完美格式3.2Samarskii格式設(shè)>0，先對(duì)方程(1)作擾動(dòng)，得到另一個(gè)對(duì)流擴(kuò)散方程（5）其中，當(dāng)時(shí)，（5）式化為（1）式對(duì)于（5）式，構(gòu)造迎風(fēng)格式（6）差分格式（6）稱為逼近對(duì)流擴(kuò)散方程的Samarskii格式。首先推導(dǎo)（6）的截?cái)嗾`差。設(shè)是對(duì)流擴(kuò)散方程（1）式的充分光滑的解令用Taylor級(jí)數(shù)展開有再令用Taylor級(jí)數(shù)展開有..整理分享..WORD完美格式由于所以當(dāng)，時(shí)，，所以Samarskii格式與定解問題是相

4、容的，并且其截?cái)嗾`差為?，F(xiàn)在看看Samarskii格式的穩(wěn)定性。將（6）式兩邊同時(shí)加上，把（6）式化為令，則上式即為：根據(jù)中心顯示格式穩(wěn)定性的討論，可以得到（6）式的穩(wěn)定性條件為，即，穩(wěn)定性的第二個(gè)條件等價(jià)于..整理分享..WORD完美格式而利用不等式所以利用穩(wěn)定性的第一個(gè)條件，有，從而可知穩(wěn)定性條件的第二個(gè)條件可由第一個(gè)條件推出，因此差分格式的穩(wěn)定性條件為，即。由Lax等價(jià)定理可知，Samarskii格式也是條件收斂的。3.3Crank-Nicolson型隱式差分格式前面討論了求解對(duì)流擴(kuò)散方程的兩種顯示格式，它們都是條件穩(wěn)定的，為了放松穩(wěn)定性條件，可以

5、采用隱式格式進(jìn)行求解?，F(xiàn)在考慮Crank-Nicolson型隱式差分格式（7）令，，則（7）式可化為（8）..整理分享..WORD完美格式把（8）式用矩陣的形式=+（9）設(shè)，，，則有下面討論Crank-Nicolson型格式的截?cái)嗾`差和精度。該格式涉及到時(shí)間層和時(shí)間層上的，，處六個(gè)點(diǎn)。設(shè)..整理分享..WORD完美格式是定解問題的充分光滑的解，把(7)式中各的值用代替，然后將，，，，，分別在點(diǎn)處進(jìn)行Taylor展開：這里出現(xiàn)的的各階偏導(dǎo)數(shù)假設(shè)都是存在而且連續(xù)的。于是（7）式的截?cái)嗾`差顯然，Crank-Nicolson型格式的精度是二階的。再來看看該格式的

6、穩(wěn)定性情況，我們還是用Fourier方法來分析。令，代入到（8）式整理得所以Crank-Nicolson型格式的增長因子是..整理分享..WORD完美格式其模的平方改寫上式由于及上式的分母為正，故即，從而得出Crank-Nicolson型格式是無條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax等價(jià)定理，Crank-Nicolson型格式也是無條件收斂的。4、數(shù)值例子給出如下對(duì)流擴(kuò)散方程的初邊值問題：所討論的對(duì)流擴(kuò)散方程的精確解為4.1三種差分格式的比較在各種對(duì)流擴(kuò)散問題中，有許多對(duì)流相對(duì)于擴(kuò)散來說在問題中起主導(dǎo)作用。對(duì)流占有擴(kuò)散問題的數(shù)值求解面臨很多困難。因此，對(duì)流占有擴(kuò)散問題的

7、有效數(shù)值解法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)中重要的研究內(nèi)容。取，，，，此時(shí)上面給出的就是一個(gè)對(duì)流占優(yōu)擴(kuò)散問題。那么，本文討論的三種差分格式對(duì)對(duì)流占有擴(kuò)散問題的求解效果是怎樣的呢？現(xiàn)在我們就來看看這個(gè)問題。首先，根據(jù)差分格式的穩(wěn)定性條件，確定的取值范圍。（1）中心差分格式：根據(jù)穩(wěn)定性條件，可知，要使中心差分格式穩(wěn)定，的取值必須滿足：..整理分享..WORD完美格式（2）Samarskii格式：根據(jù)穩(wěn)定性條件可知，的取值必須滿足：（3）Crank-Nicolson格式：該差分格式是無條件穩(wěn)定的，所以可以取任意值。要使三種差分格式都是穩(wěn)定的，不妨取。首先，我們通過表格看看三種

8、差分格式的數(shù)值解與準(zhǔn)確解之間的相對(duì)誤差。表4.1時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較x中心差