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《對(duì)流擴(kuò)散方程有限差分方法》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、WORD格式可編輯對(duì)流擴(kuò)散方程有限差分方法求解對(duì)流擴(kuò)散方程的差分格式有很多種,在本節(jié)中將介紹以下3種有限差分格式:中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隱式差分格式。3.1中心差分格式時(shí)間導(dǎo)數(shù)用向前差商、空間導(dǎo)數(shù)用中心差商來(lái)逼近,那么就得到了(1)式的中心差分格式(3)若令,,則(3)式可改寫為(4)從上式我們看到,在新的時(shí)間層上只包含了一個(gè)未知量,它可以由時(shí)間層上的值,,直接計(jì)算出來(lái)。因此,中心差分格式是求解對(duì)流擴(kuò)散方程的顯示格式。假定是定解問(wèn)題的充分光滑的解,將,,分別在處進(jìn)行Taylor展開(kāi):代入(4)式,有專業(yè)技術(shù)資料分
2、享WORD格式可編輯顯然,當(dāng),時(shí),,即中心差分格式與定解問(wèn)題是相容的。由以上的討論也可得知,對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式的截?cái)嗾`差為。對(duì)于我們上面構(gòu)造的差分格式,是否可以直接用于實(shí)際計(jì)算呢?也就是說(shuō),如果初始值有誤差,在計(jì)算過(guò)程中誤差會(huì)不會(huì)擴(kuò)大傳播呢?這就是接下來(lái)我們要討論的是差分方程的穩(wěn)定性問(wèn)題。下面用Fourier方法來(lái)分析中心差分格式的穩(wěn)定性。令,代入到(4)式整理得所以該差分格式的增長(zhǎng)因子為:其模的平方為由于,所以(即差分格式穩(wěn)定)的充分條件為上式可以改寫為注意到,所以上面不等式滿足的條件為,。由此得到差分格式(3)的穩(wěn)定性限制為,。故有結(jié)論:對(duì)流擴(kuò)散
3、方程的中心差分格式是條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax等價(jià)定理,我們可以知道,對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式是條件收斂的。專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯3.2Samarskii格式設(shè)>0,先對(duì)方程(1)作擾動(dòng),得到另一個(gè)對(duì)流擴(kuò)散方程(5)其中,當(dāng)時(shí),(5)式化為(1)式對(duì)于(5)式,構(gòu)造迎風(fēng)格式(6)差分格式(6)稱為逼近對(duì)流擴(kuò)散方程的Samarskii格式。首先推導(dǎo)(6)的截?cái)嗾`差。設(shè)是對(duì)流擴(kuò)散方程(1)式的充分光滑的解令用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)有再令用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)有專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯由于所以當(dāng),時(shí),,所以Samarskii格式與定解問(wèn)題是相容的
4、,并且其截?cái)嗾`差為。現(xiàn)在看看Samarskii格式的穩(wěn)定性。將(6)式兩邊同時(shí)加上,把(6)式化為令,則上式即為:根據(jù)中心顯示格式穩(wěn)定性的討論,可以得到(6)式的穩(wěn)定性條件為,即,穩(wěn)定性的第二個(gè)條件等價(jià)于專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯而利用不等式所以利用穩(wěn)定性的第一個(gè)條件,有,從而可知穩(wěn)定性條件的第二個(gè)條件可由第一個(gè)條件推出,因此差分格式的穩(wěn)定性條件為,即。由Lax等價(jià)定理可知,Samarskii格式也是條件收斂的。3.3Crank-Nicolson型隱式差分格式前面討論了求解對(duì)流擴(kuò)散方程的兩種顯示格式,它們都是條件穩(wěn)定的,為了放松穩(wěn)定性條件,可以采用隱
5、式格式進(jìn)行求解?,F(xiàn)在考慮Crank-Nicolson型隱式差分格式(7)令,,則(7)式可化為(8)專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯把(8)式用矩陣的形式=+(9)設(shè),,,則有下面討論Crank-Nicolson型格式的截?cái)嗾`差和精度。該格式涉及到時(shí)間層和時(shí)間層上的,,處六個(gè)點(diǎn)。設(shè)專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯是定解問(wèn)題的充分光滑的解,把(7)式中各的值用代替,然后將,,,,,分別在點(diǎn)處進(jìn)行Taylor展開(kāi):這里出現(xiàn)的的各階偏導(dǎo)數(shù)假設(shè)都是存在而且連續(xù)的。于是(7)式的截?cái)嗾`差顯然,Crank-Nicolson型格式的精度是二階的。再來(lái)看看該格式的穩(wěn)定性
6、情況,我們還是用Fourier方法來(lái)分析。令,代入到(8)式整理得所以Crank-Nicolson型格式的增長(zhǎng)因子是專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯其模的平方改寫上式由于及上式的分母為正,故即,從而得出Crank-Nicolson型格式是無(wú)條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax等價(jià)定理,Crank-Nicolson型格式也是無(wú)條件收斂的。4、數(shù)值例子給出如下對(duì)流擴(kuò)散方程的初邊值問(wèn)題:所討論的對(duì)流擴(kuò)散方程的精確解為4.1三種差分格式的比較在各種對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題中,有許多對(duì)流相對(duì)于擴(kuò)散來(lái)說(shuō)在問(wèn)題中起主導(dǎo)作用。對(duì)流占有擴(kuò)散問(wèn)題的數(shù)值求解面臨很多困難。因此,對(duì)流占有擴(kuò)散問(wèn)題的有效數(shù)值
7、解法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)中重要的研究?jī)?nèi)容。取,,,,此時(shí)上面給出的就是一個(gè)對(duì)流占優(yōu)擴(kuò)散問(wèn)題。那么,本文討論的三種差分格式對(duì)對(duì)流占有擴(kuò)散問(wèn)題的求解效果是怎樣的呢?現(xiàn)在我們就來(lái)看看這個(gè)問(wèn)題。首先,根據(jù)差分格式的穩(wěn)定性條件,確定的取值范圍。(1)中心差分格式:根據(jù)穩(wěn)定性條件,可知,要使中心差分格式穩(wěn)定,的取值必須滿足:專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯(2)Samarskii格式:根據(jù)穩(wěn)定性條件可知,的取值必須滿足:(3)Crank-Nicolson格式:該差分格式是無(wú)條件穩(wěn)定的,所以可以取任意值。要使三種差分格式都是穩(wěn)定的,不妨取。首先,我們通過(guò)表格看看三種差分格式的
8、數(shù)值解與準(zhǔn)確解之間的相對(duì)誤差。表4.1時(shí)三種差分格式