函數(shù)周期性判斷

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1、函數(shù)的周期性判斷及考查方向函數(shù)的周期性——對周期函數(shù)的概念剖析與判斷現(xiàn)行高中數(shù)學教材指出：“一般地，對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函數(shù)y＝f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期?！庇种赋觯骸皩τ谝粋€周期函數(shù)來說，如果在所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期?！憋@然，教材運用了屬加種差的定義方法對周期函數(shù)進行描述，這里的屬概念是函數(shù)，種差是指與其它函數(shù)不同的f(x＋T)＝f(x)這個特殊屬性。其語

2、言是凝縮的、內(nèi)容是豐富的。⑴對周期函數(shù)的概念剖析：①T是不為零的常數(shù)，故T的值可正可負。如：函數(shù)y＝sinx(x∈R+)僅有正周期2π，4π，…；函數(shù)y＝sinx(x∈R－)僅有負周期-2π，-4π，…；函數(shù)y＝sinx(x∈R)既有正周期又有負周期±2π，±4π，…。②x取定義域內(nèi)的每一個值，不是x取定義域內(nèi)的某一個、某幾個、甚至無窮多個值。如對于有，但是并不是函數(shù)的周期。③對于定義域內(nèi)的每一個x的值加非零常數(shù)T，有f(x＋T)＝f(x)成立，不是對于定義域內(nèi)的值加非零常數(shù)T，有。如不是函數(shù)的周期，而，其周期為6π?？梢姾瘮?shù)

3、的周期與自變量x的系數(shù)有關(guān)，如果對于任意x∈X，恒有成立，則函數(shù)f(x)的周期為T，復(fù)合函數(shù)f(wx)的周期為T′＝(ω，T均為非零常數(shù))。④對于定義域內(nèi)的每一個x的值加非零常數(shù)T，其函數(shù)值不變，不是加非零變數(shù)其函數(shù)值不變。如函數(shù)，對于任意一個自變量，再加上同一個變量2n，總有，但變數(shù)2n不是該函數(shù)的周期，因為函數(shù)根本不是周期函數(shù)。⑤x∈X且x＋T∈X，進而推出x＋nT∈X，由此可知，定義域是至少一端無界的區(qū)間為周期函數(shù)的必要條件。顯然定義域為兩端有界區(qū)間的函數(shù)如就不是周期函數(shù)。6⑥若T為函數(shù)的周期，則有。即nT也是該函數(shù)的周

4、期。特別地，，如，則。⑦周期函數(shù)有周期但未必有最小正周期。如著名的狄利克雷函數(shù)1(x∈{有理數(shù)})f(x)＝0(x∈{無理數(shù)})是周期函數(shù)，其周期為任意一個非零的有理數(shù)，但它沒有最小正周期。⑧因為，所以任何嚴格單調(diào)函數(shù)均不是周期函數(shù)。這里需要指出的是：周期函數(shù)的圖像未必是重復(fù)出現(xiàn)的；圖像重復(fù)出現(xiàn)的函數(shù)也未必是周期函數(shù)。如函數(shù)，是周期為1的周期函數(shù)，但它的圖像(如下)并不重復(fù)出現(xiàn)。又如函數(shù)y＝x－[x](x∈[-3，3])，雖然其圖像重復(fù)出現(xiàn)(如下)，但因定義域為閉區(qū)間，它并不是周期函數(shù)。這就是說，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)與函數(shù)圖像重復(fù)出

5、現(xiàn)不能等同，但有的周期函數(shù)其函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)與圖像重復(fù)出現(xiàn)又是一致的，如三角函數(shù)，是從定義域內(nèi)的任意一點x0開始，長度為一個周期的區(qū)間上的圖像將至少向定義域的一端不斷重復(fù)出現(xiàn)且延續(xù)至無窮。對于這樣的周期函數(shù)，只要研究它的一個周期上圖像的性質(zhì)，便可知曉整個函數(shù)圖像的變化規(guī)律。6⑵判斷函數(shù)是周期函數(shù)的幾個充分條件①當x∈R，若f(x)＝f(a－x)且f(x)＝f(b－x)(a≠b)，則f(x)是周期函數(shù)?！咔?，∴∴結(jié)論：若函數(shù)f(x)圖像具有兩條鉛直對稱軸及，則f(x)是周期函數(shù)。②當x∈R，若f(x)＝-f(a－x)且f(x)＝-

6、f(b－x)(a≠b)，則f(x)是周期函數(shù)?！咔?，∴∴結(jié)論：若函數(shù)f(x)圖像具有兩個對稱點及，則f(x)是周期函數(shù)。③當x∈R，若f(x)＝f(a－x)且f(x)＝-f(b－x)(a≠b)，則f(x)是周期函數(shù)?！咔?，∴∴f(x)是周期函數(shù)，且周期結(jié)論：若函數(shù)f(x)圖像具有一條對稱軸和一個對稱點，則f(x)是周期函數(shù)。④當x∈R，若f(x)＝-f(a＋x)(a≠0)則f(x)是周期函數(shù)?！選∈R，且f(x)＝-f(a＋x)(a≠0)∴f(x)＝-f(a＋x)＝-[-f(a＋(a＋x))]＝f(x＋2a)∴T＝2a如f(x

7、)＝sinx，顯然f(x＋π)＝sin(x＋π)＝-sinx＝-f(x)，T＝2π⑤當x∈R則，則f(x)是周期函數(shù)。∵x∈R，且，∴∴6如，∴∴⑥當x∈R，若則f(x)是周期函數(shù)?！選∈R，且∴∴T＝4a如f(x)＝tanx∴∴，∴。⑦當x∈R，若，則f(x)是周期函數(shù)。∵x∈R，且，∴，∴∴即則f(x)為周期函數(shù)，其周期為T＝6a6⑧當x∈R，若，則f(x)是周期函數(shù)?！　選∈R，且，∴，∴∴，當時，有∴∴或即綜上，當f(x)＝0時，f(x)為周期函數(shù)，其周期為任一個非零實數(shù)；當f(x)≠0時，f(x)為周期函數(shù)，其周期為

8、T＝6a(a≠0)。【例1】(2009魯)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足則f(2009)的值為()A．-1B．0C．1D．26【例2】(2010重慶)已知函數(shù)f(x)滿足則f(2010)＝_______。6