相交線平行線

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1、上海市尚德實驗學校楊曉Email:qdyangxiao@hotmail.com初一數(shù)學競賽系列講座(12)相交線、平行線一、知識要點：1．平面上兩條不重合的直線，位置關系只有兩種：相交和平行。2．兩條不同的直線，若它們只有一個公共點，就說它們相交。即，兩條直線相交有且只有一個交點。3．垂直是相交的特殊情況。有關兩直線垂直，有兩個重要的結論：（1）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（2）直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短。4．在同一平面內，不相交的兩條直線稱為平行線。平行線中要理解平行公理，能熟練地找出“三線八角”圖形中的同

2、位角、內錯角、同旁內角，并會運用與“三線八角”有關的平行線的判定定理和性質定理。5．利用平行公理及其推論證明或求解。二、例題精講例1．如圖(1)，直線a與b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,求∠3的度數(shù)。解：∵　a∥b，∴　∠3＝∠4（兩直線平行，內錯角相等）∵　∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定義)∴　∠1＝∠2(等式性質)則　3x+70＝5x+22　解得x=24即∠1＝142°　∴　∠3＝180°-∠1＝38°圖(1)評注：建立角度之間的關系，即建立方程（組），是幾何計算常用的方法。例2．已知：如圖(2)

3、，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度數(shù)。解：∵AB∥EF∥CD∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（兩直線平行，內錯角相等）∵∠B+∠BED+∠D=192°（已知）即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°∴2（∠B+∠D）=192°（等量代換）則∠B+∠D=96°（等式性質）∵∠B-∠D=24°（已知）圖(2)∴∠B=60°（等式性質）即∠BEF=60°（等量代換）∵EG平分∠BEF（已知）∴∠GEF=∠BEF=30°（角平分線定義）例3．如圖（3），已知AB∥CD，且∠

4、B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度數(shù)。解：過E作EF∥AB上海市尚德實驗學校楊曉Email:qdyangxiao@hotmail.com∵　AB∥CD（已知）∴　EF∥CD（平行公理）∴　∠BEF=∠B=40°∠DEF=∠D=70°（兩直線平行，內錯角相等）∵　∠DEB=∠DEF-∠BEF∴　∠DEB=∠D-∠B=30°評注：證明或解有關直線平行的問題時，如果不構成“三線八角”，則應添出輔助線?！　　　　　　　　　　　　　　　　　　D（3）例4．已知銳角三角形ABC的三邊長為a，b，c，而ha，hb，hc分別為對應邊上的高線長，求

5、證：ha+hb+hc＜a+b+c分析：對應邊上的高看作垂線段，而鄰邊看作斜線段證明：由垂線段最短知，ha＜c，hb＜a，hc＜b　　　以上三式相加得ha+hb+hc＜a+b+c研究垂直關系應掌握好垂線的性質。1．以過一點有且只有一條直線垂直于已知直線。2．垂線段最短。　　例5．如圖（4），直線AB與CD相交于O，EF^AB于F，GH^CD于H，求證EF與GH必相交。分析：欲證EF與GH相交，直接證很困難，可考慮用反證法。證明：假設EF與GH不相交?！　摺F、GH是兩條不同的直線　∴　EF∥GH　∵　EF^AB　　∴　GH^AB　又因G

6、H^CD　故AB∥CD(垂直于同一直線的兩直線平行)　　　　　　圖（4）　這與已知AB和CD相交矛盾?！∷訣F與GH不平行，即EF與GH必相交評注：本題應用結論：(1)垂直于同一條直線的兩直線平行。(2)兩條平行線中的一條直線垂直于第三條直線，那么另一條直線也平行于第三條直線；例6．平面上n條直線兩兩相交且無3條或3條以上直線共點，有多少個不同交點？解：2條直線產(chǎn)生1個交點，第3條直線與前面2條均相交，增加2個交點，這時平面上3條直線共有1+2=3個交點；第4條直線與前面3條均相交，增加3個交點，這時平面上4條直線共有1+2+3=6個

7、交點；…則　n條直線共有交點個數(shù)：1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)評注：此題是平面上n條直線交點個數(shù)最多的情形，需要仔細觀察，由簡及繁，深入思考，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。上海市尚德實驗學校楊曉Email:qdyangxiao@hotmail.com例7．6個不同的點，其中只有3點在同一條直線上，2點確定一條直線，問能確定多少條直線？解：6條不同的直線最多確定：5+4+3+2+1=15條直線，除去共線的3點中重合多算的2條直線，即能確定的直線為15-2=13條。另法：3點所在的直線外的3點間最多能確定3條直線，這3點與直線上的3點最多有3×

8、3=9條直線，加上3點所在的直線共有：3+9+1=13條評注：一般地，平面上n個點最多可確定直線的條數(shù)為：1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)例8．10條直線兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？