時(shí)滯反饋非線性扭振系統(tǒng)的穩(wěn)定性與hopf分岔研究燕山大學(xué)

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1、時(shí)滯反饋非線性扭振系統(tǒng)的穩(wěn)定性與Hopf分岔研究**基金項(xiàng)目:河北省自然科學(xué)基金(F2010001317,E2010001262),燕山大學(xué)博士基金(B451).作者簡(jiǎn)介：*時(shí)培明（1979-），男，黑龍江延壽人，博士，講師，主要研究方向?yàn)榕ふ裣到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)，Email：spm@ysu.edu.cn；劉彬（1953-），男，黑龍江五常人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)檐垯C(jī)振動(dòng)和信息處理，Email：liubin@ysu.edu.cn。時(shí)培明1,*，劉彬1，韓東穎2，朱占龍1，侯東曉1（1.燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北秦皇島06

2、6004；2.燕山大學(xué)車輛與能源學(xué)院，河北秦皇島066004）摘要：研究了具有Duffing-Vanderpol組合振子和時(shí)滯特性兩慣量非線性扭振系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分岔問(wèn)題。建立了兩慣量非線性扭振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)設(shè)計(jì)線性位移和速度時(shí)滯反饋控制器構(gòu)造了扭振受控系統(tǒng)。采用多尺度法推導(dǎo)出極限環(huán)幅值與時(shí)滯參數(shù)之間的關(guān)系。在對(duì)系統(tǒng)零解穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上,得出Hopf分岔產(chǎn)生的條件。通過(guò)數(shù)值模擬的方法研究了扭振系統(tǒng)Hopf分岔和極限環(huán)幅值控制問(wèn)題。仿真研究表明，所設(shè)計(jì)的時(shí)滯反饋控制器既能控制極限環(huán)的幅值，也能控制Hopf分岔

3、的產(chǎn)生。關(guān)鍵詞：扭振；Hopf分岔；極限環(huán)；時(shí)滯反饋控制中圖分類號(hào)：O3220引言旋轉(zhuǎn)機(jī)械是工業(yè)部門中應(yīng)用最為廣泛的一類機(jī)械[1-2]，例如汽輪機(jī)、壓縮機(jī)、風(fēng)機(jī)、軋機(jī)、機(jī)床等諸多機(jī)械都屬于這一類。傳動(dòng)系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心部分，在電力、能源、交通、冶金以及國(guó)防等領(lǐng)域發(fā)揮著無(wú)可替代的作用。旋轉(zhuǎn)機(jī)械常常由于出現(xiàn)扭振而影響其正常工作甚至導(dǎo)致設(shè)備損壞，造成重大的經(jīng)濟(jì)損失。近年來(lái)，關(guān)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械扭振系統(tǒng)的機(jī)理及控制方法研究日趨活躍。文獻(xiàn)[3]采用傳遞矩陣法建立了含連續(xù)質(zhì)量的單軸扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，得到了連續(xù)傳動(dòng)軸的頻響函數(shù)。文獻(xiàn)[4]

4、采用拉格朗日方程建立了單個(gè)連續(xù)軸的扭振動(dòng)力學(xué)方程，并得到了該軸在各種外力作用下的響應(yīng)曲線。文獻(xiàn)[5]根據(jù)4200立輥軋機(jī)的實(shí)測(cè)參數(shù)，采用理論分析和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方法建立了中厚板立輥軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)的4自由度非線性振動(dòng)模型，通過(guò)對(duì)該模型的簡(jiǎn)化求解，得到系統(tǒng)線性振動(dòng)下的全部響應(yīng)。文獻(xiàn)[6]提出了大型汽輪發(fā)電機(jī)組軸系扭振的遞階智能控制方案，并根據(jù)非線性科學(xué)理論分析了該智能控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[7]采用線性定常二次型全局最優(yōu)控制理論對(duì)電力系統(tǒng)擾動(dòng)下大型汽輪發(fā)電機(jī)組軸系產(chǎn)生的扭振進(jìn)行主動(dòng)控制。文獻(xiàn)[8-10]分析了扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自治系統(tǒng)

5、的穩(wěn)定性：通過(guò)建立Lyapunov函數(shù)分析了自治系統(tǒng)在不同參數(shù)下的穩(wěn)定性問(wèn)題。然而，自治系統(tǒng)并不是恒久穩(wěn)定的，在某些初始狀態(tài)下系統(tǒng)不穩(wěn)定，這樣，就對(duì)控制其自治系統(tǒng)穩(wěn)定提出了新的要求。本文通過(guò)設(shè)計(jì)線性位移和速度時(shí)滯反饋控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)一類自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制，著重研究了時(shí)滯參數(shù)對(duì)自治系統(tǒng)極限環(huán)幅值的影響以及Hopf分岔產(chǎn)生的條件。最后用數(shù)值仿真的方法證明了該控制方法的有效性，為實(shí)現(xiàn)該類自治系統(tǒng)的控制機(jī)理提供理論依據(jù)。1動(dòng)力學(xué)方程的建立對(duì)于兩慣量旋轉(zhuǎn)機(jī)械扭振系統(tǒng)，設(shè)、為系統(tǒng)集中慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，、為集中慣量的轉(zhuǎn)角，、為集中慣量的轉(zhuǎn)

6、速，、為外力矩。兩慣量非線性扭振系統(tǒng)力學(xué)模型如圖1所示。圖中表示系統(tǒng)線性阻尼，表示系統(tǒng)非線性阻尼。表示系統(tǒng)線性剛度，表示系統(tǒng)非線性剛度。扭振系統(tǒng)的動(dòng)能為(1)阻尼力表示為(2)圖1二慣量扭振系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1Thetorsionalvibrationsystemmodelwithtwoinertia(3)考慮一、三次扭轉(zhuǎn)剛度下的系統(tǒng)的勢(shì)能為(考慮非線性剛度為)(4)把(2)式和(3)式代入動(dòng)力學(xué)普遍方程(5)其中，，則(5)式第一項(xiàng)為(6)其中為廣義坐標(biāo)，為自由度數(shù)目，為作用力數(shù)目，廣義力(廣義力矩)為(7)將(2)式

7、和(3)式代入(7)式后得到本系統(tǒng)的廣義力(廣義力矩)為(8)(9)將(1)式、(2)式、(3)式、(4)式、(8)式和(9)式代入耗散系統(tǒng)的Lagrange方程(10)得到(11)(12)式中為系統(tǒng)集中慣量的角加速度。對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械扭振動(dòng)力系統(tǒng)，由(11)式乘以減去(12)式乘以得到(13)將(13)式中的參數(shù)簡(jiǎn)化為，，，，，，，得到(14)考慮非線性阻尼項(xiàng)為Vanderpol振子，即(15)將(15)式代入(14)式，得(16)(16)式就是一類具有Duffing-Vanderpol組合振子的二慣量扭振系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)

8、方程。在研究強(qiáng)迫系統(tǒng)之前，先研究自由振動(dòng)系統(tǒng)情況即靜平衡態(tài)的非線性特性，這是因?yàn)殪o平衡態(tài)穩(wěn)定性對(duì)共振周期解有一定的影響。本文采用線性時(shí)滯控制器來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行Hopf分岔及其極限環(huán)幅值大小的控制。對(duì)于，受控系統(tǒng)為(17)為了便于攝動(dòng)分析，式(17)化為(18)2攝動(dòng)分析采用多尺度方法，可設(shè)(18)式的攝動(dòng)解