時滯反饋非線性扭振系統(tǒng)的穩(wěn)定性與hopf分岔研究燕山大學

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1、時滯反饋非線性扭振系統(tǒng)的穩(wěn)定性與Hopf分岔研究**基金項目:河北省自然科學基金(F2010001317,E2010001262),燕山大學博士基金(B451).作者簡介:*時培明(1979-),男,黑龍江延壽人,博士,講師,主要研究方向為扭振系統(tǒng)動力學,Email:spm@ysu.edu.cn;劉彬(1953-),男,黑龍江五常人,教授,博士生導師,主要研究方向為軋機振動和信息處理,Email:liubin@ysu.edu.cn。時培明1,*,劉彬1,韓東穎2,朱占龍1,侯東曉1(1.燕山大學電氣工程學院,河北秦皇島06

2、6004;2.燕山大學車輛與能源學院,河北秦皇島066004)摘要:研究了具有Duffing-Vanderpol組合振子和時滯特性兩慣量非線性扭振系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分岔問題。建立了兩慣量非線性扭振系統(tǒng)的動力學方程,通過設(shè)計線性位移和速度時滯反饋控制器構(gòu)造了扭振受控系統(tǒng)。采用多尺度法推導出極限環(huán)幅值與時滯參數(shù)之間的關(guān)系。在對系統(tǒng)零解穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上,得出Hopf分岔產(chǎn)生的條件。通過數(shù)值模擬的方法研究了扭振系統(tǒng)Hopf分岔和極限環(huán)幅值控制問題。仿真研究表明,所設(shè)計的時滯反饋控制器既能控制極限環(huán)的幅值,也能控制Hopf分岔

3、的產(chǎn)生。關(guān)鍵詞:扭振;Hopf分岔;極限環(huán);時滯反饋控制中圖分類號:O3220引言旋轉(zhuǎn)機械是工業(yè)部門中應用最為廣泛的一類機械[1-2],例如汽輪機、壓縮機、風機、軋機、機床等諸多機械都屬于這一類。傳動系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)機械的核心部分,在電力、能源、交通、冶金以及國防等領(lǐng)域發(fā)揮著無可替代的作用。旋轉(zhuǎn)機械常常由于出現(xiàn)扭振而影響其正常工作甚至導致設(shè)備損壞,造成重大的經(jīng)濟損失。近年來,關(guān)于旋轉(zhuǎn)機械扭振系統(tǒng)的機理及控制方法研究日趨活躍。文獻[3]采用傳遞矩陣法建立了含連續(xù)質(zhì)量的單軸扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)動力學方程,得到了連續(xù)傳動軸的頻響函數(shù)。文獻[4]

4、采用拉格朗日方程建立了單個連續(xù)軸的扭振動力學方程,并得到了該軸在各種外力作用下的響應曲線。文獻[5]根據(jù)4200立輥軋機的實測參數(shù),采用理論分析和數(shù)值計算相結(jié)合的方法建立了中厚板立輥軋機主傳動系統(tǒng)的4自由度非線性振動模型,通過對該模型的簡化求解,得到系統(tǒng)線性振動下的全部響應。文獻[6]提出了大型汽輪發(fā)電機組軸系扭振的遞階智能控制方案,并根據(jù)非線性科學理論分析了該智能控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻[7]采用線性定常二次型全局最優(yōu)控制理論對電力系統(tǒng)擾動下大型汽輪發(fā)電機組軸系產(chǎn)生的扭振進行主動控制。文獻[8-10]分析了扭轉(zhuǎn)振動自治系統(tǒng)

5、的穩(wěn)定性:通過建立Lyapunov函數(shù)分析了自治系統(tǒng)在不同參數(shù)下的穩(wěn)定性問題。然而,自治系統(tǒng)并不是恒久穩(wěn)定的,在某些初始狀態(tài)下系統(tǒng)不穩(wěn)定,這樣,就對控制其自治系統(tǒng)穩(wěn)定提出了新的要求。本文通過設(shè)計線性位移和速度時滯反饋控制器來實現(xiàn)對一類自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制,著重研究了時滯參數(shù)對自治系統(tǒng)極限環(huán)幅值的影響以及Hopf分岔產(chǎn)生的條件。最后用數(shù)值仿真的方法證明了該控制方法的有效性,為實現(xiàn)該類自治系統(tǒng)的控制機理提供理論依據(jù)。1動力學方程的建立對于兩慣量旋轉(zhuǎn)機械扭振系統(tǒng),設(shè)、為系統(tǒng)集中慣量的轉(zhuǎn)動慣量,、為集中慣量的轉(zhuǎn)角,、為集中慣量的轉(zhuǎn)

6、速,、為外力矩。兩慣量非線性扭振系統(tǒng)力學模型如圖1所示。圖中表示系統(tǒng)線性阻尼,表示系統(tǒng)非線性阻尼。表示系統(tǒng)線性剛度,表示系統(tǒng)非線性剛度。扭振系統(tǒng)的動能為(1)阻尼力表示為(2)圖1二慣量扭振系統(tǒng)力學模型Fig.1Thetorsionalvibrationsystemmodelwithtwoinertia(3)考慮一、三次扭轉(zhuǎn)剛度下的系統(tǒng)的勢能為(考慮非線性剛度為)(4)把(2)式和(3)式代入動力學普遍方程(5)其中,,則(5)式第一項為(6)其中為廣義坐標,為自由度數(shù)目,為作用力數(shù)目,廣義力(廣義力矩)為(7)將(2)式

7、和(3)式代入(7)式后得到本系統(tǒng)的廣義力(廣義力矩)為(8)(9)將(1)式、(2)式、(3)式、(4)式、(8)式和(9)式代入耗散系統(tǒng)的Lagrange方程(10)得到(11)(12)式中為系統(tǒng)集中慣量的角加速度。對于旋轉(zhuǎn)機械扭振動力系統(tǒng),由(11)式乘以減去(12)式乘以得到(13)將(13)式中的參數(shù)簡化為,,,,,,,得到(14)考慮非線性阻尼項為Vanderpol振子,即(15)將(15)式代入(14)式,得(16)(16)式就是一類具有Duffing-Vanderpol組合振子的二慣量扭振系統(tǒng)的非線性動力學

8、方程。在研究強迫系統(tǒng)之前,先研究自由振動系統(tǒng)情況即靜平衡態(tài)的非線性特性,這是因為靜平衡態(tài)穩(wěn)定性對共振周期解有一定的影響。本文采用線性時滯控制器來對系統(tǒng)進行Hopf分岔及其極限環(huán)幅值大小的控制。對于,受控系統(tǒng)為(17)為了便于攝動分析,式(17)化為(18)2攝動分析采用多尺度方法,可設(shè)(18)式的攝動解

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