復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式的精度比較

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1、實(shí)驗(yàn)四、復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式的精度比較（2學(xué)時(shí)）一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求1、熟悉復(fù)化Simpson公式和復(fù)化梯形公式的構(gòu)造原理；2、熟悉并掌握二者的余項(xiàng)表達(dá)式；3、分別求出準(zhǔn)確值，復(fù)化梯形的近似值，復(fù)化Simpson的近似值，并比較后兩者的精度；4、從余項(xiàng)表達(dá)式，即誤差曲線，來觀察二者的精度，看哪個(gè)更接近于準(zhǔn)確值。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：對(duì)于函數(shù)，試?yán)孟卤碛?jì)算積分。表格如下：01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.908

2、85160.87719250.8414709注：分別利用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算，比較哪個(gè)精度更好。其中：積分的準(zhǔn)確值。三、實(shí)驗(yàn)步驟1、熟悉理論知識(shí)，并編寫相應(yīng)的程序；2、上機(jī)操作，從誤差圖形上觀察誤差，并與準(zhǔn)確值相比較，看哪個(gè)精度更好；3、得出結(jié)論，并整理實(shí)驗(yàn)報(bào)告。四、實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)1、復(fù)化梯形公式，程序主體部分：forn=2:10T(n)=0.5*T(n-1)fori=1:2^(n-2)T(n)=T(n)+(sin((2*i-1)/2^(n-1))/((2*i-1)/2^(n-1)))/2^(n-1)；e

3、ndend2、復(fù)化Simpson公式，程序主體部分：fori=1:10n=2.^ix=0:1/n:1f=sin(x)./xf(1)=1s=0forj=1:n/2s=s+f(2*j)endt=0forj=1:(n/2-1)t=t+f(2*j-1)endS(i)=1/3/n*(f(1)+4*s+2*t+f(n+1))end五．實(shí)驗(yàn)內(nèi)容復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式的引入復(fù)化梯形公式：；復(fù)化辛普森公式：；根據(jù)題意和復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普森公式的原理編輯程序求解代碼如下：Matlab代碼clcs=quad('sin(x)./x',0

4、,1)p1=zeros(10,1);p2=zeros(10,1);fork=6:15s1=0;s2=0;x=linspace(0,1,k);y=sin(x)./x;z=(1/(2*(k-1))):(1/(k-1)):1;sz=sin(z)./z;y(1)=1;fori=1:(k-1)s1=s1+0.5*(x(i+1)-x(i))*(y(i)+y(i+1));endforj=1:(k-1)s2=s2+(1/6)*(x(j+1)-x(j))*(y(j)+y(j+1)+4*sz(j));endp1(k-5)=s1-s;p2(k-

5、5)=s2-s;endp1;p2;s1=s+p1(4)s2=s+p2(4)formatlongfork=1:length(p1)p1(k)=abs(p1(k));p2(k)=abs(p2(k));endp1p2plot(6:1:15,p1,'-r')holdonplot(6:1:15,10000*(p2),'-c')holdoff部分程序結(jié)果輸出：s=0.946083070076534s1=0.945690863582701s2=0.946083085384947結(jié)果分析根據(jù)結(jié)果輸出可知：積分的準(zhǔn)確值為：I=0.94608

6、3070076534；通過復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式得到的積分值為：s1=0.945690863582701:s2=0.946083085384947;相對(duì)誤差為：；；顯然，從相對(duì)誤差可知通過辛普森公式得到的結(jié)果誤差小精度高。由于以上的算法只算了結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為9的情況，只能橫向比較兩公式的精確程度，而不能分別比較兩公式隨節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)變化精度的變化，故而將以上程序重新編（以上程序?yàn)樽罱K程序）可得出兩公式隨節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)變化精度的變化情況所取得節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為從6到15，共計(jì)10種情況對(duì)應(yīng)的誤差值如下表：節(jié)點(diǎn)數(shù)678910T0.0010.000

7、70.000510.000390.00031S*100000.987620.477660.259130.153080.09666節(jié)點(diǎn)數(shù)1112131415T0.000250.000210.000170.000150.00013S*100000.064410.044910.032570.024440.01892（表1）注：由于辛普森公式的精度較高，所得的誤差值較小不宜比較，故而將辛普森公式計(jì)算出的誤差值乘上10000得到以上表1的結(jié)果，其相應(yīng)的曲線圖如下（圖1）。（圖1:兩誤差曲線比較）備注：紅色，青色分別比奧斯曲線復(fù)化梯形

8、公式和復(fù)化辛普森公式的誤差值曲線從曲線圖可知復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式的隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加誤差值越小即其精度逐漸增大，且復(fù)化辛普森公式的精度遠(yuǎn)高于復(fù)化梯形公式的精度。