數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模教學(xué)案例

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1、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模教學(xué)案例1引言：新修訂的高中數(shù)學(xué)課程提出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力。高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。其中，對(duì)于數(shù)學(xué)建模，詳細(xì)描述為數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重

2、要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過程中，積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題；能夠針對(duì)問題建立數(shù)學(xué)模型；能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型；能夠提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)。特級(jí)教師張思明提出“我們通過數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的環(huán)境，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、自主探索、自主提出問題、自主解決問題的機(jī)會(huì)。近年來，數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題的數(shù)量和分值在高考中逐步增加，可見在命題中已經(jīng)在轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科體系觀念，旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心社

3、會(huì)、關(guān)心未來，實(shí)現(xiàn)高考命題改革與中學(xué)教育、教學(xué)觀念改革的結(jié)合。2.中學(xué)數(shù)學(xué)模型的教學(xué)2.1中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型分類：（1）與函數(shù)的最值相關(guān)問題。工程中的用料最省、利潤(rùn)最大，列出所求量的函數(shù)解析式，利用代數(shù)工具解函數(shù)最大值。（2）線性回歸直線、非線性回歸直線；如中學(xué)生身高和體重的關(guān)系，紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)與溫度的關(guān)系。（3）與周期有關(guān)的三角函數(shù)模型建立。電路信號(hào)，音頻震動(dòng)，潮水漲落周期。（4）線性規(guī)劃問題。關(guān)于求解含有多個(gè)約束條件的，目標(biāo)函數(shù)的最有解問題。（5）抽樣統(tǒng)計(jì)調(diào)查類，獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)。2.2數(shù)學(xué)建模的課堂陷入幾個(gè)誤區(qū)。（1）數(shù)學(xué)建模課堂，教師陷入了

4、對(duì)數(shù)學(xué)建模理論的講解，而數(shù)學(xué)建模的基本步驟是什么，介紹集中常見的數(shù)學(xué)建模工具，里面有大量的數(shù)學(xué)公式推到，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的思想領(lǐng)會(huì)很少。（2）數(shù)學(xué)建模能力的評(píng)價(jià)中，教師“編好”試驗(yàn)中的數(shù)據(jù)，或者抽樣統(tǒng)計(jì)好的數(shù)據(jù)，學(xué)生只需分析問題，套用計(jì)算。而沒有讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，3．?dāng)?shù)學(xué)建模案例教學(xué)設(shè)計(jì)本人從學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，探索出基于案例教學(xué)的數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的一種教學(xué)模式。我們?cè)谡n堂上重現(xiàn)一些現(xiàn)實(shí)生活中的一些場(chǎng)景，學(xué)生把自己投入到案例場(chǎng)景，通過討論研究，改進(jìn)自己處理問題的各個(gè)步驟，最終達(dá)到增強(qiáng)能力的效果。生活背景：新學(xué)期，學(xué)校教務(wù)處又到了采購粉筆的時(shí)候了，

5、教務(wù)處工作人員在網(wǎng)上瀏覽，發(fā)現(xiàn)新上市了一種正六棱柱的粉筆，價(jià)格和以往采購的傳統(tǒng)的圓柱形粉筆價(jià)格相同。請(qǐng)嘗試建立數(shù)學(xué)模型，給教務(wù)處工作人員粉筆購買的建議。模型的分析和建立的過程。師：你站在學(xué)校教務(wù)處的角度想想，在購買粉筆的時(shí)候，最應(yīng)該考慮的問題是什么呢？生：粉筆的質(zhì)量，比如粉筆是不是容易斷，粉筆寫起來是否流暢，粉筆對(duì)人是否更環(huán)保，對(duì)人更少的傷害。師：很好，這個(gè)同學(xué)從粉筆的質(zhì)量談了很多自己的想法。除了質(zhì)量之外，作為一個(gè)學(xué)校大批量采購粉筆的用戶，我們還考慮什么？生：價(jià)格。師：我們肯定都是希望，用最少的錢，辦最大的事。我們都感覺到這個(gè)問題非常的困難了啊，所以

6、，我們要要在建立基本的數(shù)學(xué)模型之前，做一些基本的假設(shè)。生：感覺考慮的因素太多了。師：我們想想，粉筆是否易斷，能夠很快做出評(píng)價(jià)嗎？讓你比較兩支粉筆，那個(gè)書寫起來更流暢，采用什么方法進(jìn)行比較呢？生：我們采用隨即抽樣的方法試試，讓學(xué)校書法社團(tuán)的人同一個(gè)人在一個(gè)黑板上書寫，也許可以大概估計(jì)，哪種粉筆質(zhì)量更好。師：每個(gè)人都開動(dòng)腦經(jīng)，找到了自己的方法，但是，讓人去判斷，主觀性還是很大的。生：可是每個(gè)人感覺是否流暢和是否這段，也跟每個(gè)人的書寫習(xí)慣有關(guān)吧。教室陷入了激烈的討論中。師：那我們能否可以假設(shè)兩種粉筆出自同一條生產(chǎn)線，質(zhì)量水平近乎相似，只是形狀的差別。生：那

7、我們只需要對(duì)每盒粉筆的價(jià)格分析就可以了。師：可是現(xiàn)在，我們兩盒粉筆的價(jià)格是相同的啊，怎么辦呢？生：那我們可以看看，同樣是畫直線，看哪一盒粉筆畫的長(zhǎng)，那么誰的性價(jià)比就高？師：這個(gè)同學(xué)提的這個(gè)思路非常正確，假設(shè)，一盒粉筆，總是不會(huì)被折斷，一根全部用完之后，再用下一根。那么一盒粉筆的書寫長(zhǎng)度主要跟誰有關(guān)呢？生：應(yīng)該是跟一盒粉筆的總體積有很大的關(guān)系吧。師：我們?cè)偌僭O(shè)，裝粉筆的盒子都是邊長(zhǎng)為20cm的正方體，那么裝滿兩個(gè)盒子的粉筆，那個(gè)盒子中粉筆的總體積多呢？生：我們可以看圖片發(fā)現(xiàn)，正六棱柱的粉筆，緊緊的靠在一起，沒有任何的縫隙。而圓柱形的粉筆相對(duì)而言有較大的

8、空隙，所以，我們斷定，同等價(jià)格下，正六棱柱的粉筆的體積最多。師：分析的非常到位，那么現(xiàn)在問題來了，如果一盒圓