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《偏微分方程的有限差分法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn1/75第四章偏微分方程的有限差分法4.1有限差分法原理4.2熱傳導(dǎo)方程的差分解法4.3波動(dòng)方程的差分解法HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn2/754.1有限差分法原理拋物線形雙曲型橢圓形不可逆過程可逆過程平衡過程熱傳導(dǎo)方程波動(dòng)方程位勢方程物理學(xué)中許多物理規(guī)律都用偏微分方程描述，偏微分方程主要分為以下三類：上式中a,c,f以及未知函數(shù)u為定義在求解區(qū)域上的實(shí)（復(fù)）函數(shù)HarbinInstituteofTechnologyY
2、angkunkyang@hit.edu.cn3/754.1有限差分法原理有限差分解法差分近似代替微分，差商近似代替微商這樣就把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布函數(shù)離散化成求網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上的分立函數(shù)值，從而把所需求解的微分方程變?yōu)橐唤M相應(yīng)的差分方程，進(jìn)一步可以求解離散節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)泰勒（Taylor）展開HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn4/754.1有限差分法原理差商公式的構(gòu)造利用泰勒級(jí)數(shù)展開定義差商HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn5/754.1有限差分法原理誤
3、差為O(h)差商公式：一階向前差商：一階向后差商：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn6/754.1有限差分法原理二階向前差商：式(2)-式(1)X2誤差為O(h2)差商公式：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn7/754.1有限差分法原理二階向后差商:式(2)-式(1)X2HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn8/754.1有限差分法原理一階向前差商：HarbinInstituteofTechno
4、logyYangkunkyang@hit.edu.cn9/754.1有限差分法原理一階向后差商：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn10/754.1有限差分法原理一階中心差商：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn11/754.1有限差分法原理二階中心差商：HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn12/754.1有限差分法原理差分格式的收斂性和穩(wěn)定性收斂性：穩(wěn)定性：當(dāng)步長h?→0時(shí)，差分方程的解趨向于微
5、分方程的解。誤差在運(yùn)算過程中不會(huì)失控，即累計(jì)誤差不會(huì)無限增加。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn13/754.1有限差分法原理從數(shù)學(xué)上講，沒有限制的微分方程會(huì)有無窮多個(gè)解，不能構(gòu)成一個(gè)定解問題。從物理上講，描述物理問題的微分方程僅適用于描述在一個(gè)連續(xù)體或物理場的內(nèi)部發(fā)生的物理過程，僅靠這些微分方程不足以確定物理過程的具體特征。因此，要想解決實(shí)際的物理問題，必須知道一個(gè)連續(xù)體或物理場的初始狀態(tài)和邊界受到的外界影響。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn14/75
6、4.1有限差分法原理初始條件：與時(shí)間相聯(lián)系邊界條件：邊界受到外界的影響偏微分方程的定解條件常見的物理問題可以歸結(jié)為三大類邊界條件HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn15/754.1有限差分法原理2第二類邊界條件（諾依曼Neumann）1第一類邊界條件（狄利克雷Dirichlet）熱傳導(dǎo)問題：邊界Г上溫度分布已知熱傳導(dǎo)問題：通過邊界Г單位面積上的熱流量已知n表示Γ的外法線q0定義在Γ上的已知函數(shù)HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn16/754.1有限差分法原理由
7、熱力學(xué)傅立葉定律得：熱流量：單位面積上的熱流量：K:熱傳導(dǎo)系數(shù)單位時(shí)間內(nèi)通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該界面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。HarbinInstituteofTechnologyYangkunkyang@hit.edu.cn17/754.1有限差分法原理3第三類邊界條件（洛平Robin）熱傳導(dǎo)問題：邊界表面Г與外界之間的熱量交換已知a0,b0.c0定義在Γ上的已知函數(shù)外界溫度為u0，熱交
