有限差分法求解偏微分方程

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1、有限差分法求解偏微分方程摘要：本文主要使用有限差分法求解計(jì)算力學(xué)中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了有限差分法的理論基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上給出了部分有限差分法求解偏微分方程的算例驗(yàn)證了推導(dǎo)的正確性及操作可行性。關(guān)鍵詞：計(jì)算力學(xué)，偏微分方程，有限差分法Abstract：Thisdissertationmainlyfocusesonsolvingthemathematicmodelofcomputationmechanicswithfinite-differencemethod.Thetheoreticalbasisoffinite-d

2、ifferenceisderivedinthesecondpartofthedissertation,andthenIuseMATLABtoprogramthealgorithmstosolvesomepartialdifferentialequationstoconfirmthecorrectnessofthederivationandthefeasibilityofthemethod.Keywords：ComputationMechanics,PartialDifferentialEquations,Finite

3、-DifferenceMethod1引言機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)常常需要從力學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以及結(jié)構(gòu)分析，而這些分析的前提就是建立工程問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)對(duì)機(jī)械系統(tǒng)應(yīng)用自然的基本定律和原理得到帶有相關(guān)邊界條件和初始條件的微分積分方程，這些微分積分方程構(gòu)成了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。求解這些數(shù)學(xué)模型的方法大致分為解析法和數(shù)值法兩種，而解析法的局限性眾所周知，當(dāng)系統(tǒng)的邊界條件和受載情況復(fù)雜一點(diǎn)，往往求不出問(wèn)題的解析解或近似解。另一方面，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展使得計(jì)算更精確、更迅速。因此，對(duì)于絕大多數(shù)工程問(wèn)題，研究其數(shù)值解法更具有實(shí)用價(jià)值。對(duì)于微分

4、方程而言，主要分為差分法和積分法兩種，本論文主要討論差分法。2有限差分法理論基礎(chǔ)2.1有限差分法的基本思想當(dāng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立后，我們面對(duì)的主要問(wèn)題就是微分積分方程的求解?；舅枷胧怯秒x散的只含有限個(gè)未知量的差分方程組去近似地代替連續(xù)變量的微分方程和定解條件，并把差分方程組的解作為微分方程定解問(wèn)題的近似解。將原方程及邊界條件中的微分用差分來(lái)近似，對(duì)于方程中的積分用求和或及機(jī)械求積公式來(lái)近似代替，從而把原微分積分方程和邊界條件轉(zhuǎn)化成差分方程組。有限差分法求解偏微分方程的步驟主要有以下幾步：n區(qū)域離散，即把所給偏微分方程

5、的求解區(qū)域細(xì)分成由有限個(gè)格點(diǎn)組成的網(wǎng)格，這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；n近似替代，即采用有限差分公式替代每一個(gè)格點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；n逼近求解，換而言之，這一過(guò)程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來(lái)代替偏微分方程的解的過(guò)程。從原則上說(shuō)，這種方法仍然可以達(dá)到任意滿意的計(jì)算精度。因?yàn)榉匠痰倪B續(xù)數(shù)值解可以通過(guò)減小獨(dú)立變量離散取值的間格，或者通過(guò)離散點(diǎn)上的函數(shù)值進(jìn)行插值計(jì)算來(lái)近似得到。理論上，當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng)趨近于零時(shí)，差分方程組的解應(yīng)該收斂于精確解，但由于機(jī)器字節(jié)的限制，網(wǎng)格步長(zhǎng)不可能也沒(méi)有必要取得無(wú)限小，那么差分法的收斂性或者說(shuō)算法的穩(wěn)定性

6、就顯得至關(guān)重要。因此，在運(yùn)用有限差分法時(shí)，除了要保證精度外，還必須要保證其收斂性。2.2系統(tǒng)微分方程的一般形式（1）由于大多數(shù)工程問(wèn)題都是二維問(wèn)題，所以得到的微分方程一般都是偏微分方程，對(duì)于一維問(wèn)題得到的是常微分方程，解法與偏微分方程類似，故為了不是一般性，這里只討論偏微分方程。由于工程中高階偏微分較少出現(xiàn)，所以本文僅僅給出二階偏微分方程的一般形式，對(duì)于高階的偏微分，可進(jìn)行類似地推廣。二階偏微分方程的一般形式如下：A?xx+B?xy+C?yy=f(x,y,?,?x,?y)其中，?為彈性體上的某一特征物理量（連續(xù)函數(shù)）

7、。當(dāng)A、B、C都是常數(shù)時(shí)，（1）式稱為準(zhǔn)線性，有三種準(zhǔn)線性方程形式：n如果Δ=B2-4AC<0，則稱為橢圓型方程；n如果Δ=B2-4AC=0，則稱為拋物型方程；n如果Δ=B2-4AC>0，則稱為雙曲型方程。橢圓型方程主要用來(lái)處理穩(wěn)態(tài)或靜態(tài)問(wèn)題，如熱傳導(dǎo)等問(wèn)題；拋物線方程主要用來(lái)處理瞬態(tài)問(wèn)題，如滲透、擴(kuò)散等問(wèn)題；雙曲型方程主要用來(lái)處理振動(dòng)問(wèn)題，如玄震動(dòng)、薄膜震動(dòng)等問(wèn)題。除了上述微分方程外，必須給出定解條件，通常有如下三類：n第一類邊界條件（Dirichlet條件）：?

8、Γ=φ(x,y)；n第二類邊界條件（Neumann

9、條件）：???n

10、Γ=φ1(x,y)；n第三類邊界條件（Robin條件）：[???n+λ(x,y)?]

11、Γ=ψ(x,y)；其中，Γ為求解域Ω的邊界，n為Γ的單位外法矢，λ(x,y)

12、Γ?0。第二類和第三類邊界條件統(tǒng)稱為導(dǎo)數(shù)邊界條件。2.3有限差分方程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.3.1一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的差分公式一個(gè)函數(shù)在x點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)，可以近似地用它所臨近的兩點(diǎn)上的