有限差分法求解偏微分方程

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1、有限差分法求解偏微分方程摘要：本文主要使用有限差分法求解計算力學中的系統(tǒng)數(shù)學模型，推導了有限差分法的理論基礎，并在此基礎上給出了部分有限差分法求解偏微分方程的算例驗證了推導的正確性及操作可行性。關(guān)鍵詞：計算力學，偏微分方程，有限差分法Abstract：Thisdissertationmainlyfocusesonsolvingthemathematicmodelofcomputationmechanicswithfinite-differencemethod.Thetheoreticalbasisoffinite-differenceisderivedinthes

2、econdpartofthedissertation,andthenIuseMATLABtoprogramthealgorithmstosolvesomepartialdifferentialequationstoconfirmthecorrectnessofthederivationandthefeasibilityofthemethod.Keywords：ComputationMechanics,PartialDifferentialEquations,Finite-DifferenceMethod1引言機械系統(tǒng)設計常常需要從力學觀點進行結(jié)構(gòu)設計以及結(jié)構(gòu)分析，

3、而這些分析的前提就是建立工程問題的數(shù)學模型。通過對機械系統(tǒng)應用自然的基本定律和原理得到帶有相關(guān)邊界條件和初始條件的微分積分方程，這些微分積分方程構(gòu)成了系統(tǒng)的數(shù)學模型。求解這些數(shù)學模型的方法大致分為解析法和數(shù)值法兩種，而解析法的局限性眾所周知，當系統(tǒng)的邊界條件和受載情況復雜一點，往往求不出問題的解析解或近似解。另一方面，計算機技術(shù)的發(fā)展使得計算更精確、更迅速。因此，對于絕大多數(shù)工程問題，研究其數(shù)值解法更具有實用價值。對于微分方程而言，主要分為差分法和積分法兩種，本論文主要討論差分法。2有限差分法理論基礎2.1有限差分法的基本思想當系統(tǒng)的數(shù)學模型建立后，我們面對的主要

4、問題就是微分積分方程的求解?；舅枷胧怯秒x散的只含有限個未知量的差分方程組去近似地代替連續(xù)變量的微分方程和定解條件，并把差分方程組的解作為微分方程定解問題的近似解。將原方程及邊界條件中的微分用差分來近似，對于方程中的積分用求和或及機械求積公式來近似代替，從而把原微分積分方程和邊界條件轉(zhuǎn)化成差分方程組。有限差分法求解偏微分方程的步驟主要有以下幾步：n區(qū)域離散，即把所給偏微分方程的求解區(qū)域細分成由有限個格點組成的網(wǎng)格，這些離散點稱作網(wǎng)格的節(jié)點；n近似替代，即采用有限差分公式替代每一個格點的導數(shù)；n逼近求解，換而言之，這一過程可以看作是用一個插值多項式及其微分來代替偏微

5、分方程的解的過程。從原則上說，這種方法仍然可以達到任意滿意的計算精度。因為方程的連續(xù)數(shù)值解可以通過減小獨立變量離散取值的間格，或者通過離散點上的函數(shù)值進行插值計算來近似得到。理論上，當網(wǎng)格步長趨近于零時，差分方程組的解應該收斂于精確解，但由于機器字節(jié)的限制，網(wǎng)格步長不可能也沒有必要取得無限小，那么差分法的收斂性或者說算法的穩(wěn)定性就顯得至關(guān)重要。因此，在運用有限差分法時，除了要保證精度外，還必須要保證其收斂性。2.2系統(tǒng)微分方程的一般形式（1）由于大多數(shù)工程問題都是二維問題，所以得到的微分方程一般都是偏微分方程，對于一維問題得到的是常微分方程，解法與偏微分方程類似，

6、故為了不是一般性，這里只討論偏微分方程。由于工程中高階偏微分較少出現(xiàn)，所以本文僅僅給出二階偏微分方程的一般形式，對于高階的偏微分，可進行類似地推廣。二階偏微分方程的一般形式如下：A?xx+B?xy+C?yy=f(x,y,?,?x,?y)其中，?為彈性體上的某一特征物理量（連續(xù)函數(shù)）。當A、B、C都是常數(shù)時，（1）式稱為準線性，有三種準線性方程形式：n如果Δ=B2-4AC<0，則稱為橢圓型方程；n如果Δ=B2-4AC=0，則稱為拋物型方程；n如果Δ=B2-4AC>0，則稱為雙曲型方程。橢圓型方程主要用來處理穩(wěn)態(tài)或靜態(tài)問題，如熱傳導等問題；拋物線方程主要用來處理瞬態(tài)問

7、題，如滲透、擴散等問題；雙曲型方程主要用來處理振動問題，如玄震動、薄膜震動等問題。除了上述微分方程外，必須給出定解條件，通常有如下三類：n第一類邊界條件（Dirichlet條件）：?

8、Γ=φ(x,y)；n第二類邊界條件（Neumann條件）：???n

9、Γ=φ1(x,y)；n第三類邊界條件（Robin條件）：[???n+λ(x,y)?]

10、Γ=ψ(x,y)；其中，Γ為求解域Ω的邊界，n為Γ的單位外法矢，λ(x,y)

11、Γ?0。第二類和第三類邊界條件統(tǒng)稱為導數(shù)邊界條件。2.3有限差分方程的數(shù)學基礎2.3.1一元函數(shù)導數(shù)的差分公式一個函數(shù)在x點上的導數(shù)，可以近似地用它所臨近

12、的兩點上的