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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案南京理工大學(xué)課程考核論文課程名稱：高等數(shù)值分析論文題目：有限差分法求解偏微分方程姓名：羅晨學(xué)號(hào)：115104000545成績：任課教師評(píng)語：簽名：年月日有限差分法求解偏微分方程精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案一、主要內(nèi)容1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一維拋物線型方程：具體求解的偏微分方程如下：2.推導(dǎo)五種差分格式、截?cái)嗾`差并分析其穩(wěn)定性；3.編寫MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)五種差分格式對(duì)偏微分方程的求解及誤差分析；4.結(jié)論及完成本次實(shí)驗(yàn)報(bào)告的感想。二、推導(dǎo)幾種差分格式的過程：有限差分法（finite-differencemethods）是一種數(shù)值方法通過有限個(gè)微分方程近似求導(dǎo)從而
2、尋求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來代替；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點(diǎn)上的近似解。推導(dǎo)差分方程的過程中需要用到的泰勒展開公式如下：(2-1)求解區(qū)域的網(wǎng)格劃分步長參數(shù)如下：(2-2)2.1古典顯格式精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2.1.1古典顯格式的推導(dǎo)由泰勒展開公式將對(duì)時(shí)間展開得(2-3)當(dāng)時(shí)有(2-4)得到對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)(2-5)由泰勒展開公式將對(duì)
3、位置展開得(2-6)當(dāng)時(shí)，代入式(2-6)得(2-7)因?yàn)?，代入上式?2-8)得到對(duì)位置的二階偏導(dǎo)數(shù)(2-9)將式(2-5)、(2-9)代入一般形式的拋物線型偏微分方程得(2-10)為了方便我們可以將式(2-10)寫成精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(2-11)(2-12)最后得到古典顯格式的差分格式為(2-13)，古典顯格式的差分格式的截?cái)嗾`差是。2.1.2古典顯格式穩(wěn)定性分析古典顯格式(2-13)寫成矩陣形式為(2-14)上面的C矩陣的特征值是：(2-15)使，即結(jié)論：當(dāng)時(shí)，所以古典顯格式是穩(wěn)定的。2.2古典隱格式精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2.2.1古典隱格式的推導(dǎo)將代入式(2-3)得(2-16)(2-1
4、7)得到對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)(2-18)將式(2-9)、(2-18)原方程得到(2-19)為了方便把(2-19)寫成(2-20)(2-21)最后得到古典隱格式的差分格式為(2-22)，古典隱格式的差分格式的截?cái)嗾`差是。2.2.2古典隱格式穩(wěn)定性分析將古典隱格式(2-22)寫成矩陣形式如下(2-23)誤差傳播方程(2-24)所以誤差方程的系數(shù)矩陣為精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案使，顯然恒成立。結(jié)論：對(duì)于，即任意網(wǎng)格比下，古典隱格式是絕對(duì)穩(wěn)定的。2.3Richardson格式2.3.1Richardson格式的推導(dǎo)將，代入式(2-3)得(2-25)即(2-26)由此得到可得(2-27)將式(2-9)、(2-2
5、7)代入原方程得到下式(2-28)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案為了方便可以把式(2-28)寫成(2-29)即(2-30)最后得到Richardson顯格式的差分格式為(2-31)，古典顯格式的差分格式的截?cái)嗾`差是。2.3.2Richardson穩(wěn)定性分析將Richardson顯格式(2-31)寫成如下矩陣形式(2-32)誤差傳播方程矩陣形式(2-33)再將上面的方程組寫成矩陣形式(2-34)系數(shù)矩陣的特征值是(2-35)解得特征值為(2-36)(恒成立)(2-37)結(jié)論：上式對(duì)任意的網(wǎng)比都恒成立，即Richardson格式是絕對(duì)不穩(wěn)定的。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4.Crank-Nicholson格式3.4
6、.1Crank-Nicholson格式的推導(dǎo)將代入式(2-9)得(2-40)即(2-41)得到如下方程(2-42)所以處的一階偏導(dǎo)數(shù)可以用下式表示：(2-43)將,代入式(2-6)可以得到式(2-9)；同理,代入式(2-6)可以得到(2-44)所以，處的二階偏導(dǎo)數(shù)用式(2-6)、(2-44)表示：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(2-45)所以，處的函數(shù)值可用下式表示：(2-46)原方程變?yōu)椋?2-47)將差分格式代入上式得：(2-48)為了方便寫成：(2-49)最后得到Crank-Nicholson格式的差分格式為(2-50)，Crank-Nicholson格式的差分格式的截?cái)嗾`差是。3.4.1Cran
7、k-Nicholson穩(wěn)定性分析Crank-Nicholson格式寫成矩陣形式如下：(2-51)誤差傳播方程是：(2-52)可以得到：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(2-53)(2-54)使即(2-55)(2-56)(2-57)(2-58)上式恒成立。結(jié)論：Crank-Nicholson格式對(duì)任意網(wǎng)格比也是絕對(duì)穩(wěn)定的。5.DuFortFrankle格式（Richardson格式的改進(jìn)）將代入式(2-31)并
