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1、2.3.1平面向量基本定理墨江二中李曉婧一、教學(xué)目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問(wèn)題的重要思想方法；（3）能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來(lái)表達(dá)。二、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.三、教學(xué)過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)引入：1．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作：λ（1）
2、λ
3、=
4、λ
5、
6、
7、；（2）λ>0時(shí)λ與方向相同；λ<0時(shí)λ與方向相反；λ=0時(shí)λ=2．運(yùn)算定律結(jié)合律：λ(μ)
8、=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ3.向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使=λ.（二）講解新課：思考：（1）給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量e1、e2，請(qǐng)你作出向量3e1+2e2，e1-2e2。（2）平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢？（1）這個(gè)問(wèn)題要分類討論，分為兩向量共線和兩向量不共線兩種情況。對(duì)于兩向量共線的情況，有如下兩種情形：e1e23e1+2e2e1-2e2e1e23e1+2e2e1-2e2對(duì)于兩向量不共線的情況：e1e23e1+2e2e1-2e2（
9、2）平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢？如圖，設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量．從第一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論我們知道：當(dāng)向量e1和e2共線時(shí)，平面上的任意向量a無(wú)法用a＝λ1e1+λ2e2來(lái)表示。對(duì)于兩向量不共線的情況，如下圖所示：對(duì)于一般情形，如圖設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量。在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=e1，OB=e2，OC=a。過(guò)點(diǎn)C作直線OB的平行線，交直線OA于點(diǎn)M；過(guò)點(diǎn)C作直線OA的平行線，交直線OB于點(diǎn)N。由向量線性運(yùn)算的性質(zhì)可知，存
10、在實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得OM=λ1e1，ON=λ2e2。由于OC=OM+ON，所以a=λ1e1+λ2e2。e1e2aMOBCAN平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2。在這里，我們引入基底的概念：我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。思考：（1）基底是唯一的嗎？一組平面向量的基底有多少對(duì)？不唯一，無(wú)數(shù)對(duì)（2）基底可以為零嗎？不能，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行。（3）特別地，若a=0，有什么結(jié)論？有且只有λ1=λ2=0時(shí)，a等于0
11、。（4）若a與e1或e2共線，有什么結(jié)論？λ1=0或λ2=0。探究：(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量注意：（1）實(shí)數(shù)對(duì)λ1、λ2的存在性和唯一性（2）基底的不唯一性向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作OA=a，OB=b，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a與b的夾角。（1）夾角的范圍：0°≤θ≤180°（2）當(dāng)θ=0°時(shí)，a與b
12、同向（3）當(dāng)θ=180°時(shí)，a與b反向（4）當(dāng)θ=90°時(shí)，a與b垂直，記作a⊥b求向量夾角時(shí)，注意以下三點(diǎn)：（1）要把兩向量a、b起點(diǎn)平移到一起；（2）夾角的范圍：0°≤θ≤180°；（3）夾角θ的大小與a、b的位置狀態(tài)無(wú)關(guān)。（三）講解范例：例1已知向量，求作向量-2.5+3.（略）例2如圖ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)M，且=，=，用，表示，，和（四）課堂練習(xí)：1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有()A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線
13、，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c=6e1-2e2的關(guān)系A(chǔ).不共線B.共線C.相等D.無(wú)法確定3.已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3B.-3C.0D.24.已知a、b不共線，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c與b共線，則λ1=.5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一組基底，且a=λ1e1+λ2e2，則a與e1_____，a與e
14、2_________(填共線或不共線).（五）小結(jié)本節(jié)主要講了平面向量的基本定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運(yùn)算基礎(chǔ)上的向量分解原理；在解題中基底的選擇是多樣的，靈活的，解題時(shí)我們應(yīng)該選擇對(duì)我們解
